Ένας παράλογος αριθμός δεν είναι τόσο τρομακτικός όσο ακούγεται. είναι απλώς ένας αριθμός που δεν μπορεί να εκφραστεί ως ένα απλό κλάσμα ή, με άλλα λόγια, ένα Ο παράλογος αριθμός είναι ένα ατελείωτο δεκαδικό που συνεχίζει έναν άπειρο αριθμό θέσεων μετά το παρελθόν δεκαδικό σημείο. Μπορείτε να εκτελέσετε τις περισσότερες λειτουργίες σε παράλογους αριθμούς, όπως θα κάνατε με τους λογικούς αριθμούς, αλλά όταν πρόκειται για τη λήψη τετραγωνικών ριζών, θα πρέπει να μάθετε να προσεγγίζετε την τιμή.
Τι είναι ένας παράλογος αριθμός;
Λοιπόν, τι είναι παράλογος αριθμός, ούτως ή άλλως; Ίσως να είστε ήδη εξοικειωμένοι με δύο πολύ διάσημους παράλογους αριθμούς: π ή "pi", ο οποίος σχεδόν πάντα συντομεύεται ως 3.14, αλλά στην πραγματικότητα συνεχίζει απεριόριστα στα δεξιά της υποδιαστολής. και "e", άλλωστε ο αριθμός του Euler, ο οποίος συντομογραφείται συνήθως ως 2.71828, αλλά επίσης συνεχίζεται απείρως στα δεξιά της υποδιαστολής.
Αλλά υπάρχουν πολύ περισσότεροι παράλογοι αριθμοί εκεί έξω, και εδώ είναι ένας εύκολος τρόπος να εντοπίσετε μερικά από αυτά: Εάν ο αριθμός κάτω από ένα τετράγωνο ρίζα δεν είναι τέλειο τετράγωνο, τότε αυτή η τετραγωνική ρίζα είναι παράλογη αριθμός.
Αυτό είναι ένα εξαιρετικά μεγάλο στόμα, οπότε εδώ είναι ένα παράδειγμα για να το καταστήσουμε σαφές. Βοηθά επίσης να θυμόμαστε ότι ένα τέλειο τετράγωνο είναι ένας αριθμός του οποίου η τετραγωνική ρίζα είναι ακέραιος:
Είναι √8 ένας παράλογος αριθμός;Εάν έχετε απομνημονεύσει τα τέλεια τετράγωνα ή αφιερώσετε χρόνο για να τα αναζητήσετε, θα το γνωρίζετε
\ sqrt {4} = 2 \ text {και} \ sqrt {9} = 3
Δεδομένου ότι το √8 βρίσκεται μεταξύ αυτών των δύο αριθμών, αλλά δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός μεταξύ 2 και 3 για να είναι η ρίζα του, το √8 είναι παράλογο.
Λήψη της τετραγωνικής ρίζας ενός παράλογου αριθμού
Όσον αφορά τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός παράλογου αριθμού, έχετε δύο επιλογές. Τοποθετήστε τον παράλογο αριθμό σε αριθμομηχανή ή σε ηλεκτρονική αριθμομηχανή τετραγωνικής ρίζας (βλ. Πόροι), στην περίπτωση αυτή η αριθμομηχανή θα επιστρέψει μια κατά προσέγγιση τιμή για εσάς - ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια διαδικασία τεσσάρων βημάτων για να εκτιμήσετε την τιμή ο ίδιος.
Παράδειγμα 1:Υπολογίστε την τιμή του παράλογου αριθμού √8.
Βρείτε τα τέλεια τετράγωνα που θα ήταν και στις δύο πλευρές του √8 στη γραμμή αριθμών. Σε αυτήν την περίπτωση, √4 = 2 και √9 = 3. Επιλέξτε αυτό που είναι πιο κοντά στον αριθμό-στόχο σας. Επειδή το 8 είναι πολύ πιο κοντά στο 9 παρά στο 4, επιλέξτε
\ sqrt {9} = 3
Στη συνέχεια, διαιρέστε τον αριθμό του οποίου τη ρίζα θέλετε - 8 - με την εκτίμησή σας. Συνεχίζοντας το παράδειγμα, έχετε:
\ frac {8} {3} = 2,67
Τώρα, βρείτε τον μέσο όρο του αποτελέσματος από το Βήμα 2 με τον διαιρέτη από το Βήμα 2. Εδώ, αυτό σημαίνει κατά μέσο όρο 3 και 2,67. Προσθέστε πρώτα τους δύο αριθμούς και, στη συνέχεια, διαιρέστε με δύο:
3 + 2.67 = 5.6667
(Αυτό είναι στην πραγματικότητα το επαναλαμβανόμενο δεκαδικό 5.6666666666, αλλά έχει στρογγυλοποιηθεί σε τέσσερα δεκαδικά ψηφία για λόγους συντομίας.)
\ frac {5.6667} {2} = 2.83335
Το αποτέλεσμα από το Βήμα 3 εξακολουθεί να μην είναι ακριβές, αλλά πλησιάζει. Επαναλάβετε τα βήματα 2 και 3 όπως απαιτείται, χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα από το βήμα 3 ως νέο διαιρέτη στο βήμα 2 κάθε φορά.
Για να συνεχίσετε το παράδειγμα, θα διαιρέσετε το 8 με το αποτέλεσμα από το Βήμα 3 (2.83335), το οποίο σας δίνει:
\ frac {8} {2.83335} = 2.8235
(Και πάλι, στρογγυλοποίηση σε τέσσερα δεκαδικά ψηφία για λόγους συντομίας.)
Στη συνέχεια θα μετρήσετε το αποτέλεσμα της διαίρεσής σας με τον διαιρέτη, ο οποίος σας δίνει:
2.83335 + 2.8235 = 5.65685 \\ \, \\ \ frac {5.65685} {2} = 2.828425
Μπορείτε να συνεχίσετε αυτήν τη διαδικασία, επαναλαμβάνοντας τα Βήματα 2 και 3 ανάλογα με τις ανάγκες, έως ότου η απάντηση είναι τόσο ακριβής όσο χρειάζεστε.
Τι γίνεται με τις παράλογες πλατείες ρίζες;
Μερικές φορές αντί να βρείτε την τετραγωνική ρίζα ενός παράλογου αριθμού, πρέπει να ασχοληθείτε με τους παράλογους αριθμούς που εκφράζονται σε μορφή τετραγωνικής ρίζας - ένα από τα πιο διάσημα για τα οποία θα μάθετε είναι √2.
Δεν μπορείτε να κάνετε πολλά με το √2, εκτός από την προσέγγιση της αξίας του όπως περιγράφεται παραπάνω. Αλλά εάν λάβετε μεγαλύτερο παράλογο αριθμό σε μορφή τετραγωνικής ρίζας, μερικές φορές μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι
\ sqrt {cd} = \ sqrt {c} × \ sqrt {d}
για να ξαναγράψετε την απάντηση σε απλούστερη μορφή.
Εξετάστε την παράλογη τετραγωνική ρίζα √32. Αν και δεν έχει μια κύρια ρίζα (δηλαδή, μια μη αρνητική, ακέραια ρίζα), μπορείτε να την παραγάγετε σε κάτι με μια γνωστή κύρια ρίζα:
\ sqrt {32} = \ sqrt {16} × \ sqrt {2}
Δεν μπορείτε ακόμα να κάνετε πολλά με √2, αλλά √16 = 4, οπότε μπορείτε να το κάνετε αυτό ένα βήμα παραπέρα και να το γράψετε ως
\ sqrt {32} = 4 \ sqrt {2}
Αν και δεν έχετε εξαλείψει εντελώς το ριζικό σύμβολο, απλοποιήσατε αυτόν τον παράλογο αριθμό, διατηρώντας παράλληλα την ακριβή του τιμή.
