Η απλή αναφορά της λέξης τριγωνομετρία μπορεί να ρίξει ένα ρίγος στη σπονδυλική σας στήλη, προκαλώντας αναμνήσεις μαθήματα μαθημάτων γυμνασίου και άσεμνοι όροι όπως αμαρτία, μακιγιάζ και μαύρισμα που ποτέ δεν φαινόταν να κάνουν έννοια. Αλλά η αλήθεια είναι ότι η τριγωνομετρία έχει ένα τεράστιο φάσμα εφαρμογών, ειδικά αν ασχολείστε με την επιστήμη ή τα μαθηματικά ως μέρος της συνεχούς εκπαίδευσής σας. Εάν δεν είστε σίγουροι τι σημαίνει πραγματικά μια εφαπτομένη ή πώς εξάγετε χρήσιμες πληροφορίες από αυτήν, η εκμάθηση να μετατρέπετε εφαπτομενικές σε μοίρες εισάγει τις πιο σημαντικές έννοιες.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Για ένα τυπικό ορθογώνιο τρίγωνο, το μαύρισμα της γωνίας (θ) σου λέει:
Ταν (θ) = αντίθετο / παρακείμενο
Με αντίθετη και παρακείμενη στάση για τα μήκη αυτών των αντίστοιχων πλευρών.
Μετατροπή εφαπτομένων σε μοίρες χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Γωνία σε μοίρες = αρκτάν (μαύρισμα (θ))
Εδώ, το arctan αντιστρέφει τη συνάρτηση εφαπτομένης και μπορεί να βρεθεί στους περισσότερους υπολογιστές ως μαύρισμα−1.
Τι είναι μια εφαπτομένη;
Στην τριγωνομετρία, η εφαπτομένη μιας γωνίας μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τα μήκη των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου που περιέχει τη γωνία. Η παρακείμενη πλευρά κάθεται οριζόντια δίπλα στη γωνία που σας ενδιαφέρει και η αντίθετη πλευρά στέκεται κατακόρυφα, απέναντι από τη γωνία που σας ενδιαφέρει. Η υπόλοιπη πλευρά, η υποτείνουσα, έχει να παίξει ρόλο στους ορισμούς του cos και της αμαρτίας αλλά όχι του μαύρου.
Με αυτό το γενικό τρίγωνο κατά νου, την εφαπτομένη της γωνίας (θ) μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας:
\ tan (θ) = \ frac {\ text {απέναντι}} {\ text {δίπλα}}
Εδώ, το αντίθετο και το παρακείμενο περιγράφουν τα μήκη των πλευρών με αυτά τα ονόματα. Σκεπτόμενος την υπόταση ως κλίση, το μαύρισμα της γωνίας της πλαγιάς σας λέει την άνοδο της κλίσης (δηλαδή, την κάθετη αλλαγή) διαιρούμενη με τη διαδρομή της κλίσης (η οριζόντια αλλαγή)
Το μαύρισμα μιας γωνίας μπορεί επίσης να οριστεί ως:
\ tan (θ) = \ frac {\ sin (θ)} {\ cos (θ)}
Τι είναι το Arctan;
Η εφαπτομένη μιας γωνίας σας λέει τεχνικά τι επιστρέφει η λειτουργία μαυρίσματος όταν την εφαρμόζετε στη συγκεκριμένη γωνία που έχετε κατά νου. Η συνάρτηση που ονομάζεται "arctan" ή μαύρισμα−1 αντιστρέφει τη λειτουργία μαυρίσματος και επιστρέφει την αρχική γωνία όταν την εφαρμόζετε στο μαύρισμα της γωνίας. Το Arcsin και τα arccos κάνουν το ίδιο πράγμα με τις συναρτήσεις αμαρτίας και cos, αντίστοιχα.
Μετατροπή εφαπτομένων σε μοίρες
Η μετατροπή εφαπτομένων σε μοίρες απαιτεί να εφαρμόσετε τη συνάρτηση αρκτά στο μαύρισμα της γωνίας που σας ενδιαφέρει. Η ακόλουθη έκφραση δείχνει τον τρόπο μετατροπής εφαπτομένων σε μοίρες:
\ text {Γωνία σε μοίρες} = \ arctan (\ tan (θ))
Με απλά λόγια, η συνάρτηση arctan αντιστρέφει το αποτέλεσμα της συνάρτησης μαύρου. Αν ξέρετε ότι το μαύρισμα (θ) = √3, τότε:
\ begin {aligned} \ text {Γωνία σε μοίρες} & = \ arctan (\ sqrt {3}) \\ & = 60 ° \ end {aligned}
Στην αριθμομηχανή σας, πατήστε το "μαύρισμα−1Κουμπί για να εφαρμόσετε τη λειτουργία αρκτάν. Αυτό το κάνετε είτε προτού εισαγάγετε την τιμή που θέλετε να λάβετε είτε μετά, ανάλογα με το συγκεκριμένο μοντέλο της αριθμομηχανής σας.
Ένα παράδειγμα προβλήματος: Κατεύθυνση ταξιδιού ενός σκάφους
Το ακόλουθο πρόβλημα δείχνει τη χρησιμότητα της συνάρτησης μαύρου. Φανταστείτε κάποιον να ταξιδεύει με ταχύτητα 5 μέτρα ανά δευτερόλεπτο στην ανατολική κατεύθυνση (από τα δυτικά) με βάρκα, αλλά ταξιδεύει με ρεύμα που σπρώχνει το σκάφος προς τα βόρεια με ταχύτητα 2 μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Ποια γωνία κάνει η προκύπτουσα κατεύθυνση του ταξιδιού με την ανατολική ανατολή;
Χωρίστε το πρόβλημα σε δύο μέρη. Πρώτον, το ταξίδι προς τα ανατολικά μπορεί να θεωρηθεί ότι σχηματίζει την παρακείμενη πλευρά ενός τριγώνου (με μήκος 5 μέτρα ανά δευτερόλεπτο), και το ρεύμα που κινείται προς τα βόρεια μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι η αντίθετη πλευρά αυτού του τριγώνου (με μήκος 2 μέτρα ανά δεύτερος). Αυτό έχει νόημα επειδή η τελική κατεύθυνση του ταξιδιού (που θα ήταν η υποτελής χρήση του υποθετικού τρίγωνο) προκύπτει από το συνδυασμό της επίδρασης της κίνησης προς τα ανατολικά και της τρέχουσας ώθησης προς ο βορράς. Τα προβλήματα φυσικής συχνά περιλαμβάνουν τη δημιουργία τριγώνων έτσι, έτσι μπορούν να χρησιμοποιηθούν απλές σχέσεις τριγωνομετρίας για την εξεύρεση λύσης.
Από:
\ tan (θ) = \ frac {\ text {απέναντι}} {\ text {δίπλα}}
Αυτό σημαίνει ότι το μαύρισμα της γωνίας της τελικής κατεύθυνσης του ταξιδιού είναι:
\ begin {aligned} \ tan (θ) & = \ frac {2 \ text {m / s}} {5 \ text {m / s}} \\ & = 0,4 \ τέλος {στοίχιση}
Μετατρέψτε το σε βαθμούς χρησιμοποιώντας την ίδια προσέγγιση όπως στην προηγούμενη ενότητα:
\ begin {aligned} \ text {Γωνία σε μοίρες} & = \ arctan (\ tan (θ)) \\ & = \ arctan (0.4) \\ & = 21.8 ° \ end {aligned}
Έτσι το σκάφος καταλήγει σε κατεύθυνση 21,8 ° από την οριζόντια. Με άλλα λόγια, εξακολουθεί να κινείται σε μεγάλο βαθμό προς τα ανατολικά, αλλά ταξιδεύει ελαφρώς βόρεια λόγω του ρεύματος.