Οι μαθηματικοί έχουν επινοήσει Πολλά τρόποι κατηγοριοποίησης και ταξινόμησης αριθμών με βάση τις ιδιότητές τους, και οι συμπίεσεις είναι μια από τις πιο ενδιαφέρουσες ταξινομήσεις ζευγών αριθμών με βάση τους πρωταρχικούς τους παράγοντες.
Ωστόσο, η εύρεση δύο αριθμών που είναι coprime δεν είναι απαραίτητα εύκολη, ειδικά αν το επεξεργάζεστε με το χέρι. Για να υπολογίσετε ένα coprime, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε το πρωταρχικοί παράγοντες ενός αριθμού, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα αυτού για να βρείτε άλλους αριθμούς που είναι coprime σε αυτόν. Μπορείτε επίσης να ελέγξετε εάν δύο αριθμοί είναι coprime, κάτι που είναι μια απλούστερη διαδικασία.
Τι είναι το Coprime;
Για οποιονδήποτε αριθμό, ένα coprime είναι ένας αριθμός που δεν μοιράζεται κανέναν κοινό παράγοντα εκτός από το 1. Με άλλα λόγια, εάν αναλύσετε και τους δύο αριθμούς στους πρωταρχικούς τους παράγοντες, μοιράζονται μόνο τον πρώτο παράγοντα του 1. Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται επίσης μερικές φορές σχετικά πρώτοι ή αμοιβαία πρώτοι.
Για παράδειγμα, 21 και 22 είναι coprime. Για το 21, οι παράγοντες είναι ένας, τρεις, επτά και 21, αλλά για τους 22 είναι ένας, δύο, 11 και 22. Επειδή το μόνο κοινό μέλος και των δύο αυτών λιστών είναι ένα, αυτό σημαίνει ότι τα 21 και 22 είναι εξ ορισμού coprime. Φυσικά, αυτή η διαδικασία είναι πολύ πιο δύσκολο να επιτευχθεί μεγαλύτεροι αριθμοί, που συνήθως θα έχουν περισσότερους παράγοντες, αλλά δύο πρώτοι αριθμοί θα είναι αυτόματα coprime εξ ορισμού (αφού διαιρούνται μόνο από έναν και από αυτούς).
Πρωταρχική παραγοντοποίηση
Το πρώτο και πιο σημαντικό βήμα για τον υπολογισμό ενός coprime για κάθε δεδομένο αριθμό είναι η εύρεση των πρωταρχικών παραγόντων του αριθμού. Μπορείτε να περάσετε από αυτήν τη διαδικασία για οποιονδήποτε αριθμό με παρόμοιο τρόπο, αλλά εξετάστε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, τον αριθμό 35, για να κάνετε τη διαδικασία πιο συγκεκριμένη. Το πρώτο στάδιο είναι να βρούμε ένα χαμηλό prime που ο αριθμός μπορεί να διαιρεθεί από: Σε αυτήν την περίπτωση, πέντε είναι η προφανής επιλογή. Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον αριθμό για να βρείτε έναν άλλο παράγοντα επειδή πρέπει να πολλαπλασιαστεί με κάτι, στην περίπτωση αυτή επτά, για να λάβετε το αποτέλεσμα.
Σε αυτήν την περίπτωση, δεν μπορείτε να βρείτε επιπλέον παράγοντες εκτός από τον ίδιο και τον 35, οπότε ολοκληρώσατε τη διαδικασία. Σε γενικές γραμμές, προσπαθήστε να διαιρέσετε τον αριθμό με δύο, στη συνέχεια με τρία, στη συνέχεια με πέντε και ούτω καθεξής μέσω των πρώτων έως ότου βρείτε έναν που λειτουργεί (χωρίς κανένα υπόλοιπο), τότε περάστε από την ίδια διαδικασία με το αποτέλεσμα, έως ότου το αποτέλεσμα είναι άλλο πρωταρχικό.
Για παράδειγμα: 60 διαιρεί με δύο για να δώσει 30, που διαιρείται με δύο για να δώσει 15, που στη συνέχεια διαιρείται με τρία για να δώσει πέντε (άλλο prime), ώστε να μπορείτε να γράψετε 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Μπορείτε εύκολα να σκεφτείτε άλλους αριθμούς (όπως έξι) που είναι παράγοντες, αλλά αυτοί περιέχονται στο παραπάνω αποτέλεσμα (από 6 = 2 × 3, που περιλαμβάνεται στη λίστα). Εξαιτίας αυτού, η μετάβαση σε πρωταρχικούς παράγοντες διευκολύνει τα πράγματα.
Υπολογισμός και έλεγχος Coprimes
Χρησιμοποιήστε τη λίστα των πρώτων παραγόντων για να δημιουργήσετε έναν εναλλακτικό αριθμό που δεν μοιράζεται παράγοντες με τον πρώτο (εκτός από έναν και τον αρχικό αριθμό). Για το 35, εκτός από το ένα και το 35, υπάρχουν παράγοντες πέντε και επτά, οπότε γνωρίζετε ότι οποιοσδήποτε αριθμός αποτελείται από διαφορετικούς πρώτους είναι coprime.
Για παράδειγμα, μπορείτε να δημιουργήσετε coprimes πολλαπλασιάζοντας τα 2, 3, 11, 13 και ούτω καθεξής, δίνοντας:
2 × 3 = 6
3 × 3 = 9
2 × 11 = 22
3 × 11 = 33
2 × 13 = 26
3 × 13 = 39
και άλλες κομπρέσες
Προσπαθήστε να βρείτε μερικές coprimes των 60 χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία, σημειώνοντας ότι επτά, 11, 13, 17 και ούτω καθεξής είναι αποδεκτός πρωταρχικός αριθμός «δομικά στοιχεία», πριν διαβάσετε. Θα πρέπει να βρείτε (για παράδειγμα), 77, 91, 119 και 143 ως coprimes. Υπάρχουν επιπλέον κόλπα που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε επίσης, για παράδειγμα, ένας πρωταρχικός αριθμός που δεν περιλαμβάνεται ως πρωταρχικός παράγοντας θα είναι πάντα coprime και δύο συνεχόμενοι ακέραιοι είναι πάντα coprime.
Ελέγξτε αν δύο αριθμοί είναι coprime με πρωταρχικό παράγοντα ο καθένας και αναζητώντας κοινόχρηστους παράγοντες. Εναλλακτικά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαδικτυακά εργαλεία (δείτε πόρους) για να αυτοματοποιήσετε τη διαδικασία.