Ενώ οι αγγλικές λέξεις "ακολουθία" και "σειρά" έχουν παρόμοιες έννοιες, στα μαθηματικά είναι εντελώς διαφορετικές έννοιες. Μια ακολουθία είναι μια λίστα αριθμών που τοποθετούνται σε καθορισμένη σειρά ενώ μια σειρά είναι το άθροισμα μιας τέτοιας λίστας αριθμών. Υπάρχουν πολλά είδη ακολουθιών, συμπεριλαμβανομένων εκείνων που βασίζονται σε άπειρες λίστες αριθμών. Διαφορετικές ακολουθίες και οι αντίστοιχες σειρές έχουν διαφορετικές ιδιότητες και μπορούν να δώσουν εκπληκτικά αποτελέσματα.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Οι ακολουθίες είναι λίστες αριθμών που τοποθετούνται σε συγκεκριμένη σειρά σύμφωνα με τους δεδομένους κανόνες. Η σειρά που αντιστοιχεί σε μια ακολουθία είναι το άθροισμα των αριθμών σε αυτήν την ακολουθία. Η σειρά μπορεί να είναι αριθμητική, που σημαίνει ότι υπάρχει μια σταθερή διαφορά μεταξύ των αριθμών της σειράς, ή γεωμετρική, που σημαίνει ότι υπάρχει ένας σταθερός συντελεστής. Οι άπειρες σειρές δεν έχουν τελικό αριθμό, αλλά ενδέχεται να έχουν σταθερό ποσό υπό ορισμένες συνθήκες.
Τύποι ακολουθιών και σειρών
Οι κοινές ακολουθίες είναι αριθμητικές ή γεωμετρικές. Σε μια αριθμητική ακολουθία, κάθε αριθμός ή όρος της ακολουθίας διαφέρει από τον προηγούμενο όρο κατά την ίδια ποσότητα. Για παράδειγμα, εάν μια διαφορά αριθμητικής ακολουθίας είναι 2, μια αντίστοιχη αριθμητική ακολουθία μπορεί να είναι 1, 3, 5... Εάν η διαφορά είναι -3, μια ακολουθία μπορεί να είναι 4, 1, -2... Η αριθμητική ακολουθία καθορίζεται από τον αρχικό αριθμό και τη διαφορά.
Για γεωμετρικές ακολουθίες, οι όροι διαφέρουν ανάλογα με έναν παράγοντα. Για παράδειγμα, μια ακολουθία με συντελεστή 2 μπορεί να είναι 2, 4, 8... και μια ακολουθία με συντελεστή 0,75 μπορεί να είναι 32, 24, 18... Η γεωμετρική ακολουθία ορίζεται από τον αρχικό αριθμό και τον παράγοντα.
Οι τύποι σειρών εξαρτώνται από την ακολουθία που προστίθεται. Μια αριθμητική σειρά προσθέτει τους όρους μιας αριθμητικής ακολουθίας και μια γεωμετρική σειρά προσθέτει μια γεωμετρική ακολουθία.
Πεπερασμένες και άπειρες ακολουθίες και σειρές
Οι ακολουθίες και οι αντίστοιχες σειρές μπορούν να βασίζονται σε έναν καθορισμένο αριθμό όρων ή έναν άπειρο αριθμό. Μια πεπερασμένη ακολουθία έχει έναν αρχικό αριθμό, μια διαφορά ή έναν παράγοντα και έναν σταθερό συνολικό αριθμό όρων. Για παράδειγμα, η πρώτη αριθμητική ακολουθία παραπάνω με οκτώ όρους θα ήταν 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Η πρώτη γεωμετρική ακολουθία με έξι όρους θα ήταν 2, 4, 8, 16, 32, 64. Η αντίστοιχη αριθμητική σειρά θα έχει τιμή 64 και η γεωμετρική σειρά 126. Οι άπειρες ακολουθίες δεν έχουν καθορισμένο αριθμό όρων και οι όροι τους μπορούν να αυξηθούν στο άπειρο, να μειωθούν στο μηδέν ή να προσεγγίσουν μια σταθερή τιμή. Η αντίστοιχη σειρά μπορεί επίσης να έχει άπειρο, μηδέν ή σταθερό αποτέλεσμα.
Convergent και Divergent Series
Οι άπειρες σειρές είναι αποκλίνουσες εάν το άθροισμα πλησιάζει το άπειρο καθώς ο αριθμός των όρων αυξάνεται. Μια άπειρη σειρά είναι συγκλίνουσα εάν το άθροισμά του πλησιάζει μια μη απεριόριστη τιμή όπως μηδέν ή άλλο σταθερό αριθμό. Οι σειρές είναι συγκλίνουσες εάν οι όροι της υποκείμενης ακολουθίας πλησιάζουν γρήγορα μηδέν.
Η σειρά που προσθέτει τους όρους της άπειρης ακολουθίας 1, 2, 4... είναι διαφορετικό επειδή οι όροι της ακολουθίας συνεχίζουν να αυξάνονται, επιτρέποντας στο άθροισμα να φτάσει σε μια άπειρη τιμή καθώς ο αριθμός των όρων αυξάνεται. Οι σειρές 1, 0,5, 0,25... είναι συγκλίνουσα επειδή οι όροι γίνονται γρήγορα πολύ μικροί.
Ενώ οι ακολουθίες ταξινομούνται λίστες αριθμών και οι σειρές είναι αθροίσματα, και τα δύο μπορούν να είναι σημαντικά εργαλεία Η αξιολόγηση συνόλων αριθμών και οι ιδιότητες σύγκλισης ή απόκλισης μπορεί να έχουν πραγματική ζωή επιπτώσεις. Μια αποκλίνουσα σειρά συχνά αντιπροσωπεύει μια ασταθή κατάσταση, ενώ μια συγκλίνουσα σειρά συχνά σημαίνει ότι μια διαδικασία ή δομή θα είναι σταθερή.