Στα μαθηματικά, ένα αντιπαράδειγμα χρησιμοποιείται για να διαψεύσει μια δήλωση. Εάν θέλετε να αποδείξετε ότι μια δήλωση είναι αληθινή, πρέπει να γράψετε μια απόδειξη για να αποδείξετε ότι είναι πάντα αλήθεια. δεν δίνουμε ένα παράδειγμα. Σε σύγκριση με το γράψιμο μιας απόδειξης, η σύνταξη ενός αντιπαραδείγματος είναι πολύ απλούστερη. Αν θέλετε να δείξετε ότι μια δήλωση δεν είναι αληθινή, πρέπει να δώσετε μόνο ένα παράδειγμα σεναρίου στο οποίο η δήλωση είναι ψευδής. Τα περισσότερα αντιπαραδείγματα στην άλγεβρα περιλαμβάνουν αριθμητικούς χειρισμούς.
Δύο τάξεις μαθηματικών
Η απόδειξη-συγγραφή και εύρεση αντιπαραδειγμάτων είναι δύο από τις κύριες τάξεις των μαθηματικών. Οι περισσότεροι μαθηματικοί επικεντρώνονται στη συγγραφή δοκιμών για την ανάπτυξη νέων θεωρημάτων και ιδιοτήτων. Όταν οι δηλώσεις ή οι εικασίες δεν μπορούν να αποδειχθούν αληθείς, οι μαθηματικοί τις διαψεύδουν δίνοντας αντιπαραδείγματα.
Τα αντιπαραδείγματα είναι συγκεκριμένα
Αντί να χρησιμοποιείτε μεταβλητές και αφηρημένες συμβολές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αριθμητικά παραδείγματα για να απορρίψετε ένα όρισμα. Στην άλγεβρα, τα περισσότερα αντιπαραδείγματα περιλαμβάνουν χειραγώγηση με διαφορετικούς αριθμούς θετικών και αρνητικών ή μονών και ζυγών, ακραίων περιπτώσεων και ειδικών αριθμών όπως 0 και 1.
Ένα επαρκές δείγμα είναι επαρκές
Η φιλοσοφία του αντιπαραδείγματος είναι ότι εάν σε ένα σενάριο η δήλωση δεν ισχύει, τότε η δήλωση είναι ψευδής. Ένα μη μαθηματικό παράδειγμα είναι "Ο Τομ δεν είπε ποτέ ψέμα." Για να δείξετε ότι αυτή η δήλωση είναι αληθινή, πρέπει να παρέχετε «απόδειξη» ότι ο Τομ δεν είπε ποτέ ψέμα παρακολουθώντας κάθε δήλωση που έκανε ο Τομ. Ωστόσο, για να διαψεύσετε αυτήν τη δήλωση, πρέπει μόνο να δείξετε ένα ψέμα που ο Tom είπε ποτέ.
Διάσημα Counterexamples
"Όλοι οι πρώτοι αριθμοί είναι περίεργοι." Αν και σχεδόν όλοι οι πρώτοι αριθμοί, συμπεριλαμβανομένων όλων των πρώτων άνω των 3, είναι μονός, το "2" είναι ένας πρώτος αριθμός που είναι ζυγό αυτή η δήλωση είναι ψευδής. Το "2" είναι το σχετικό αντιπαράδειγμα.
"Η αφαίρεση είναι υπολογιστική." Τόσο η προσθήκη όσο και ο πολλαπλασιασμός είναι υπολογιστικοί - μπορούν να εκτελεστούν με οποιαδήποτε σειρά. Δηλαδή, για τυχόν πραγματικούς αριθμούς a και b, a + b = b + a και a * b = b * a. Ωστόσο, η αφαίρεση δεν είναι υπολογιστική. ένα αντιπαράδειγμα που αποδεικνύει ότι είναι: 3 - 5 δεν ισούται με 5 - 3.
"Κάθε συνεχής λειτουργία είναι διαφοροποιήσιμη." Η απόλυτη συνάρτηση | x | είναι συνεχής για όλους τους θετικούς και αρνητικούς αριθμούς. αλλά δεν μπορεί να διαφοροποιηθεί στο x = 0; από | x | είναι μια συνεχής συνάρτηση, αυτό το αντιπαράδειγμα αποδεικνύει ότι δεν είναι διαφοροποιημένη κάθε συνεχής λειτουργία.