Οι τετραγωνικές ρίζες βρίσκονται συχνά σε μαθηματικά και επιστημονικά προβλήματα και κάθε μαθητής πρέπει να πάρει τα βασικά των τετραγωνικών ριζών για να αντιμετωπίσει αυτές τις ερωτήσεις. Οι τετραγωνικές ρίζες ρωτούν «ποιος αριθμός, όταν πολλαπλασιάζεται από τον εαυτό του, δίνει το ακόλουθο αποτέλεσμα», και ως εκ τούτου η επεξεργασία τους απαιτεί από εσάς να σκεφτείτε αριθμούς με ελαφρώς διαφορετικό τρόπο. Ωστόσο, μπορείτε εύκολα να κατανοήσετε τους κανόνες των τετραγωνικών ριζών και να απαντήσετε σε τυχόν ερωτήσεις που τους αφορούν, είτε απαιτούν άμεσο υπολογισμό είτε απλή απλοποίηση.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Μια τετραγωνική ρίζα σας ρωτά ποιος αριθμός, όταν πολλαπλασιάζεται από μόνος του, δίνει το αποτέλεσμα μετά το σύμβολο √. √9 = 3 και √16 = 4. Κάθε ρίζα τεχνικά έχει θετική και αρνητική απάντηση, αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις η θετική απάντηση είναι αυτή που θα σας ενδιαφέρει.
Μπορείτε να συντελέσετε τετραγωνικές ρίζες όπως οι απλοί αριθμοί, έτσι √αβ = √ένα √σιή √6 = √2√3.
Τι είναι μια τετραγωνική ρίζα;
Οι τετραγωνικές ρίζες είναι το αντίθετο του «τετραγώνου» ενός αριθμού ή του πολλαπλασιασμού από μόνη της. Για παράδειγμα, το τετράγωνο είναι εννέα (32 = 9), έτσι η τετραγωνική ρίζα του εννέα είναι τρία. Σε σύμβολα, αυτό είναι
\ sqrt {9} = 3
Το σύμβολο «√» σας λέει να πάρετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού και μπορείτε να το βρείτε στους περισσότερους υπολογιστές.
Θυμηθείτε ότι κάθε αριθμός έχει πραγματικάδύοτετραγωνικές ρίζες. Τρεις πολλαπλασιασμένοι με τρεις ισούται με εννέα, αλλά αρνητικοί τρεις πολλαπλασιασμένοι με αρνητικοί τρεις ισούται επίσης με εννέα, έτσι
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ κείμενο {και} \ sqrt {9} = ± 3
με το ± να σημαίνει "συν ή μείον". Σε πολλές περιπτώσεις, μπορείτε να αγνοήσετε τις αρνητικές τετραγωνικές ρίζες των αριθμών, αλλά μερικές φορές είναι σημαντικό να θυμάστε ότι κάθε αριθμός έχει δύο ρίζες.
Μπορεί να σας ζητηθεί να πάρετε τη "ρίζα κύβου" ή "τέταρτη ρίζα" ενός αριθμού. Η ρίζα κύβου είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιάζεται από μόνος του δύο φορές, ισούται με τον αρχικό αριθμό. Η τέταρτη ρίζα είναι ο αριθμός που όταν πολλαπλασιάζεται τρεις φορές ισούται με τον αρχικό αριθμό. Όπως οι τετραγωνικές ρίζες, αυτά είναι ακριβώς το αντίθετο από τη λήψη της δύναμης των αριθμών. Λοιπόν, 33 = 27, και αυτό σημαίνει ότι η ρίζα κύβου του 27 είναι 3 ή
\ sqrt [3] {27} = 3
Το σύμβολο «∛» αντιπροσωπεύει τη ρίζα κύβου του αριθμού που ακολουθεί μετά από αυτό. Οι ρίζες μερικές φορές εκφράζονται επίσης ως κλασματικές δυνάμεις, έτσι
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {και} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Απλοποίηση τετραγωνικών ριζών
Ένα από τα πιο δύσκολα καθήκοντα που ίσως χρειαστεί να εκτελέσετε με τετραγωνικές ρίζες είναι η απλοποίηση των μεγάλων τετραγωνικών ριζών, αλλά πρέπει απλώς να ακολουθήσετε μερικούς απλούς κανόνες για να αντιμετωπίσετε αυτές τις ερωτήσεις. Μπορείτε να συντελέσετε τετραγωνικές ρίζες με τον ίδιο τρόπο όπως και οι απλοί αριθμοί. Έτσι, για παράδειγμα 6 = 2 × 3, έτσι
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Η απλοποίηση των μεγαλύτερων ριζών σημαίνει τη λήψη της παραγοντοποίησης βήμα προς βήμα και την ανάμνηση του ορισμού μιας τετραγωνικής ρίζας Για παράδειγμα, το √132 είναι μια μεγάλη ρίζα και μπορεί να είναι δύσκολο να δούμε τι να κάνουμε. Ωστόσο, μπορείτε εύκολα να δείτε ότι διαιρείται με 2, ώστε να μπορείτε να γράψετε
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
Ωστόσο, το 66 διαιρείται επίσης με το 2, οπότε μπορείτε να γράψετε:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
Σε αυτήν την περίπτωση, μια τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού πολλαπλασιασμένη με μια άλλη τετραγωνική ρίζα δίνει ακριβώς τον αρχικό αριθμό (λόγω του ορισμού της τετραγωνικής ρίζας)
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Με λίγα λόγια, μπορείτε να απλοποιήσετε τις τετραγωνικές ρίζες χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους κανόνες
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = α
Τι είναι η τετραγωνική ρίζα…
Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω ορισμούς και κανόνες, μπορείτε να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες των περισσότερων αριθμών. Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα που πρέπει να λάβετε υπόψη.
Η τετραγωνική ρίζα του 8
Αυτό δεν μπορεί να βρεθεί άμεσα, επειδή δεν είναι η τετραγωνική ρίζα ενός ακέραιου αριθμού. Ωστόσο, η χρήση των κανόνων απλούστευσης δίνει:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
Η τετραγωνική ρίζα του 4
Αυτό κάνει χρήση της απλής τετραγωνικής ρίζας του 4, που είναι √4 = 2. Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί ακριβώς χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή και √8 = 2.8284 ...
Η τετραγωνική ρίζα του 12
Χρησιμοποιώντας την ίδια προσέγγιση, προσπαθήστε να επεξεργαστείτε την τετραγωνική ρίζα του 12. Χωρίστε τη ρίζα σε παράγοντες και, στη συνέχεια, δείτε αν μπορείτε να τη χωρίσετε σε παράγοντες ξανά. Προσπαθήστε αυτό ως πρόβλημα πρακτικής και, στη συνέχεια, εξετάστε την παρακάτω λύση:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Και πάλι, αυτή η απλοποιημένη έκφραση μπορεί είτε να χρησιμοποιηθεί σε προβλήματα όπως απαιτείται, είτε να υπολογιστεί ακριβώς χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Ένας υπολογιστής το δείχνει αυτό
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
Η τετραγωνική ρίζα των 20
Η τετραγωνική ρίζα των 20 μπορεί να βρεθεί με τον ίδιο τρόπο:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….
Η τετραγωνική ρίζα του 32
Τέλος, αντιμετωπίστε την τετραγωνική ρίζα του 32 χρησιμοποιώντας την ίδια προσέγγιση:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Εδώ, σημειώστε ότι έχουμε ήδη υπολογίσει την τετραγωνική ρίζα του 8 ως 2√2 και ότι √4 = 2, έτσι:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5.657 ...
Τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού
Αν και ο ορισμός μιας τετραγωνικής ρίζας σημαίνει ότι οι αρνητικοί αριθμοί δεν πρέπει να έχουν τετραγωνική ρίζα (επειδή οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνο του δίνει ένα θετικό αριθμό ως αποτέλεσμα), οι μαθηματικοί τους αντιμετώπισαν ως μέρος των προβλημάτων στην άλγεβρα και επινόησαν ένα λύση. Ο «φανταστικός» αριθμόςΕγώχρησιμοποιείται για να σημαίνει "η τετραγωνική ρίζα του μείον 1" και τυχόν άλλες αρνητικές ρίζες εκφράζονται ως πολλαπλάσια τουΕγώ. Έτσι
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Αυτά τα προβλήματα είναι πιο δύσκολα, αλλά μπορείτε να μάθετε να τα επιλύετε με βάση τον ορισμό τουΕγώκαι τους τυπικούς κανόνες για τις ρίζες.
Παράδειγμα Ερωτήσεις και Απαντήσεις
Δοκιμάστε την κατανόησή σας για τις τετραγωνικές ρίζες απλοποιώντας όπως απαιτείται και, στη συνέχεια, υπολογίζοντας τις ακόλουθες ρίζες:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Προσπαθήστε να τα λύσετε πριν δείτε τις παρακάτω απαντήσεις:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196