Какво е геометрична последователност?

В геометрична последователност всеки член е равен на предишния член, умножен по постоянен, ненулев множител, наречен общ коефициент. Геометричните последователности могат да имат фиксиран брой членове или могат да бъдат безкрайни. И в двата случая условията на геометрична последователност могат бързо да станат много големи, много отрицателни или много близки до нулата. В сравнение с аритметичните последователности, термините се променят много по-бързо, но докато са безкрайни аритметични последователностите се увеличават или намаляват постоянно, геометричните последователности могат да се доближат до нула, в зависимост от общото фактор.

TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)

Геометричната последователност е подреден списък с числа, в които всеки член е произведение на предишния член и фиксиран, ненулев множител, наречен общ коефициент. Всеки член на геометрична последователност е средната геометрична стойност на условията, предхождащи и следващи го. Безкрайните геометрични последователности с общ фактор между +1 и -1 се приближават до границата на нула като членове се добавят, докато последователностите с общ коефициент, по-голям от +1 или по-малък от -1, преминават към плюс или минус безкрайност.

instagram story viewer

Как работят геометричните последователности

Геометричната последователност се дефинира от началния си номера, общият факторrи броя на терминитеС. Съответната обща форма на геометрична последователност е:

a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}

Общата формула за терминанна геометрична последователност (т.е. всеки член в тази последователност) е:

a_n = ar ^ {n-1}

Рекурсивната формула, която определя термин по отношение на предишния термин, е:

a_n = ra_ {n-1}

Пример за геометрична последователност с начален номер 3, общ фактор 2 и осем термина е 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Изчислявайки последния член, използвайки общия формуляр, изброен по-горе, терминът е:

a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384

Използвайки общата формула за член 4:

a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24

Ако искате да използвате рекурсивната формула за член 5, тогава член 4 = 24 и a5 равно на:

a_5 = 2 × 24 = 48

Геометрични свойства на последователността

Геометричните последователности имат специални свойства що се отнася до геометричната средна стойност. Средната геометрична стойност на две числа е квадратният корен на техния продукт. Например, геометричната средна стойност на 5 и 20 е 10, тъй като произведението 5 × 20 = 100 и квадратният корен от 100 е 10.

В геометричните последователности всеки термин е средната геометрична стойност на термина преди него и термина след него. Например в последователността 3, 6, 12... по-горе, 6 е средната геометрична стойност на 3 и 12, 12 е средната геометрична стойност на 6 и 24, а 24 е средната геометрична стойност на 12 и 48.

Други свойства на геометричните последователности зависят от общия фактор. Ако общият факторrе по-голямо от 1, безкрайните геометрични последователности ще се доближат до положителна безкрайност. Акоrе между 0 и 1, последователностите ще се доближат до нула. Акоrе между нула и -1, последователностите ще се приближат до нула, но термините ще се редуват между положителни и отрицателни стойности. Акоrе по-малко от -1, термините ще се насочват към положителна и отрицателна безкрайност, тъй като те се редуват между положителни и отрицателни стойности.

Геометричните последователности и техните свойства са особено полезни при научни и математически модели на реални процеси. Използването на специфични последователности може да помогне при изследването на популации, които растат с фиксирана скорост за дадени периоди от време или инвестиции, които печелят лихва. Общите и рекурсивните формули дават възможност за прогнозиране на точни стойности в бъдеще въз основа на изходната точка и общия фактор.

Teachs.ru
  • Дял
instagram viewer