В геометрична последователност всеки член е равен на предишния член, умножен по постоянен, ненулев множител, наречен общ коефициент. Геометричните последователности могат да имат фиксиран брой членове или могат да бъдат безкрайни. И в двата случая условията на геометрична последователност могат бързо да станат много големи, много отрицателни или много близки до нулата. В сравнение с аритметичните последователности, термините се променят много по-бързо, но докато са безкрайни аритметични последователностите се увеличават или намаляват постоянно, геометричните последователности могат да се доближат до нула, в зависимост от общото фактор.
TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)
Геометричната последователност е подреден списък с числа, в които всеки член е произведение на предишния член и фиксиран, ненулев множител, наречен общ коефициент. Всеки член на геометрична последователност е средната геометрична стойност на условията, предхождащи и следващи го. Безкрайните геометрични последователности с общ фактор между +1 и -1 се приближават до границата на нула като членове се добавят, докато последователностите с общ коефициент, по-голям от +1 или по-малък от -1, преминават към плюс или минус безкрайност.
Как работят геометричните последователности
Геометричната последователност се дефинира от началния си номера, общият факторrи броя на терминитеС. Съответната обща форма на геометрична последователност е:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Общата формула за терминанна геометрична последователност (т.е. всеки член в тази последователност) е:
a_n = ar ^ {n-1}
Рекурсивната формула, която определя термин по отношение на предишния термин, е:
a_n = ra_ {n-1}
Пример за геометрична последователност с начален номер 3, общ фактор 2 и осем термина е 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Изчислявайки последния член, използвайки общия формуляр, изброен по-горе, терминът е:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Използвайки общата формула за член 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Ако искате да използвате рекурсивната формула за член 5, тогава член 4 = 24 и a5 равно на:
a_5 = 2 × 24 = 48
Геометрични свойства на последователността
Геометричните последователности имат специални свойства що се отнася до геометричната средна стойност. Средната геометрична стойност на две числа е квадратният корен на техния продукт. Например, геометричната средна стойност на 5 и 20 е 10, тъй като произведението 5 × 20 = 100 и квадратният корен от 100 е 10.
В геометричните последователности всеки термин е средната геометрична стойност на термина преди него и термина след него. Например в последователността 3, 6, 12... по-горе, 6 е средната геометрична стойност на 3 и 12, 12 е средната геометрична стойност на 6 и 24, а 24 е средната геометрична стойност на 12 и 48.
Други свойства на геометричните последователности зависят от общия фактор. Ако общият факторrе по-голямо от 1, безкрайните геометрични последователности ще се доближат до положителна безкрайност. Акоrе между 0 и 1, последователностите ще се доближат до нула. Акоrе между нула и -1, последователностите ще се приближат до нула, но термините ще се редуват между положителни и отрицателни стойности. Акоrе по-малко от -1, термините ще се насочват към положителна и отрицателна безкрайност, тъй като те се редуват между положителни и отрицателни стойности.
Геометричните последователности и техните свойства са особено полезни при научни и математически модели на реални процеси. Използването на специфични последователности може да помогне при изследването на популации, които растат с фиксирана скорост за дадени периоди от време или инвестиции, които печелят лихва. Общите и рекурсивните формули дават възможност за прогнозиране на точни стойности в бъдеще въз основа на изходната точка и общия фактор.