Алгебра бележи първия истински концептуален скок, който учениците трябва да направят в света на математиката, като се научат да манипулират променливи и да работят с уравнения. Когато започнете да работите с уравнения, ще срещнете някои често срещани предизвикателства, включително експоненти, фракции и множество променливи. Всичко това може да се овладее с помощта на няколко основни стратегии.
Основната стратегия за алгебрични уравнения
Основната стратегия за решаване на всяко алгебрично уравнение е първо да се изолира променливият член от едната страна от уравнението и след това приложите обратни операции, ако е необходимо, за да премахнете коефициентите или експоненти. Обратната операция „отменя“ друга операция; например, разделянето „отменя“ умножението на коефициент, а квадратните корени „отменят“ операцията на квадратиране на степенна степен на втора степен.
Имайте предвид, че ако приложите операция към едната страна на уравнението, трябва да приложите същата операция от другата страна на уравнението. Като поддържате това правило, можете да промените начина на писане на условията на уравнение, без да променяте тяхната връзка помежду си.
Решаване на уравнения с експоненти
Видовете уравнения с експоненти, които ще срещнете по време на пътуването си по алгебра, лесно могат да запълнят цяла книга. Засега се съсредоточете върху овладяването на най-основните уравнения на експонента, където имате един променлив член с експонента. Например:
у ^ 2 + 3 = 19
Извадете 3 от двете страни на уравнението, оставяйки променливия член изолиран от едната страна:
у ^ 2 = 16
Отстранете експонентата от променливата, като приложите радикал от същия индекс. Не забравяйте, че трябва да направите това и от двете страни на уравнението. В този случай това означава да вземем квадратния корен от двете страни:
\ sqrt {y ^ 2} = \ sqrt {16}
Което опростява до:
у = 4
Решаване на уравнения с дроби
Ами ако вашето уравнение включва дроб? Помислете за примера на
\ frac {3} {4} (x + 7) = 6
Ако разпределите фракцията 3/4 (х+ 7), нещата могат бързо да се объркат. Ето една много по-проста стратегия.
Умножете двете страни на уравнението по знаменателя на фракцията. В този случай това означава умножаване на двете страни на фракцията по 4:
\ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4
Опростете двете страни на уравнението. Това работи за:
3 (x + 7) = 24
Можете да опростите отново, което води до:
3x + 21 = 24
Извадете 21 от двете страни, като изолирате променливия член от едната страна на уравнението:
3x = 3
Накрая разделете двете страни на уравнението на 3, за да завършите решаванетох:
x = 1
Решаване на едно уравнение с две променливи
Ако иматеединуравнение с две променливи, вероятно ще бъдете помолени да решите само една от тези променливи. В този случай следвате почти същата процедура, която бихте използвали за всяко алгебрично уравнение с една променлива. Помислете за примера
5x + 4 = 2г
ако сте помолени да решите зах.
Извадете 3 от всяка страна на уравнението, оставяйкихтермин сам по себе си от едната страна на знака за равенство:
5x = 2y - 4
Разделете двете страни на уравнението на 5, за да премахнете коефициента отхсрок:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Ако не ви бъде дадена друга информация, това е доколкото можете да вземете изчисленията.
Решаване на две уравнения с две променливи
Ако сте получили система (или група) отдвеуравнения, които имат еднакви две променливи в себе си, това обикновено означава, че уравненията са свързани - и можете да използвате техника, наречена заместване, за да намерите стойности и за двете променливи. Помислете за уравнението от последния пример, плюс второ, свързано уравнение, което използва същите променливи:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
Изберете едно уравнение и решете това уравнение за една от променливите. В този случай използвайте това, което вече знаете за първото уравнение от предишния пример, за което вече сте решилих:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Заместете резултата от стъпка 1 в другото уравнение. С други думи, заменете стойността (2у- 4) / 5 за всякакви случаи нахв другото уравнение. Това ви дава уравнение само с една променлива:
\ frac {2y - 4} {5} + 3y = 23
Опростете уравнението от стъпка 2 и решете за останалата променлива, която в този случай еу.
Започнете, като умножите двете страни по 5:
5 × \ bigg (\ frac {2y - 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23
Това опростява до:
2y - 4 + 15y = 115
След комбиниране на подобни термини, това допълнително опростява до:
17y = 119
И накрая, след разделяне на двете страни на 17, имате:
y = 7
Заместете стойността от стъпка 3 в уравнението от стъпка 1. Това ви дава:
x = \ frac {(2 × 7) - 4} {5}
Което опростява, за да разкрие стойността нах:
x = 2
Така че решението за тази система от уравнения ех= 2 иу = 7.