Уравнението на равнина в триизмерно пространство може да бъде записано в алгебрични обозначения като ax + от + cz = d, където поне един от константите на реалното число "a," "b" и "c" не трябва да са нула, а "x", "y" и "z" представляват осите на триизмерната самолет. Ако са дадени три точки, можете да определите равнината, като използвате векторни кръстосани продукти. Вектор е линия в пространството. Кръстосан продукт е умножението на два вектора.
Вземете трите точки в самолета. Означете ги с "A", "B" и "C." Например, приемете, че тези точки са A = (3, 1, 1); В = (1, 4, 2); и С = (1, 3, 4).
Намерете два различни вектора в равнината. В примера изберете вектори AB и AC. Вектор AB преминава от точка-A към точка-B, а вектор AC преминава от точка-A до точка-C. Така че извадете всяка координата в точка-А от всяка координата в точка-В, за да получите вектор AB: (-2, 3, 1). По същия начин, векторът AC е точка-C минус точка-A или (-2, 2, 3).
Изчислете кръстосаното произведение на двата вектора, за да получите нов вектор, който е нормален (или перпендикулярен или ортогонален) на всеки от двата вектора, а също и на равнината. Кръстосаното произведение на два вектора, (a1, a2, a3) и (b1, b2, b3), се дава от N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). В примера кръстосаното произведение, N, на AB и AC е i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], което опростява до N = 7i + 4j + 2k. Имайте предвид, че „i“, „j“ и „k“ се използват за представяне на векторни координати.
Изведете уравнението на равнината. Уравнението на равнината е Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, където (a1, a2, a3) е всяка точка в равнината и (Ni, Nj, Nk ) е нормалният вектор, N. В примера, използвайки точка С, която е (1, 3, 4), уравнението на равнината е 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, което опростява до 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, или 7x + 4y + 2z = 27.
Проверете отговора си. Заместете оригиналните точки, за да видите дали отговарят на уравнението на равнината. В заключение на примера, ако замените някоя от трите точки, ще видите, че уравнението на равнината наистина е изпълнено.
Съвети
Вижте Ресурси за съвети как да използвате системи от три едновременни уравнения, за да намерите уравнението на равнина.