Как да решим системи от уравнения чрез графики

Системите за уравнения могат да помогнат за решаването на реални въпроси във всякакви области, от химия до бизнес до спорт. Решаването им не е важно само за вашите математически оценки; може да ви спести много време, независимо дали се опитвате да си поставите цели за вашия бизнес или вашия спортен екип.

TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)

За да решите система от уравнения чрез графика, графирайте всяка линия на една и съща координатна равнина и вижте къде се пресичат.

Например, представете си, че вие ​​и вашият приятел създавате стойка за лимонада. Вие решавате да се разделите и да завладеете, така че вашият приятел отива на кварталното баскетболно игрище, докато вие оставате на уличния ъгъл на семейството си. В края на деня обединявате парите си. Заедно сте спечелили $ 200, но вашият приятел е направил $ 50 повече от вас. Колко пари направи всеки от вас?

Или помислете за баскетбол: Изстрелите, направени извън линията от 3 точки, са на стойност 3 точки, кошниците, направени вътре в линията от 3 точки, са на стойност 2 точки, а свободните хвърляния са на стойност само 1 точка. Съперникът ви е с 19 точки пред вас. Какви комбинации от кошници бихте могли да направите, за да наваксате?

Графирането е един от най-простите начини за решаване на системи от уравнения. Всичко, което трябва да направите, е да изобразите двете линии на една и съща координатна равнина и след това да видите къде се пресичат.

Първо, трябва да напишете думата проблем като система от уравнения. Присвояване на променливи на неизвестните. Обадете се на парите, които правитеY., и парите, които вашият приятел правиF​.

Сега имате два вида информация: информация за това колко пари сте направили заедно и информация за това как парите, които сте направили в сравнение с парите, които е направил вашият приятел. Всяко от тях ще се превърне в уравнение.

За първото уравнение напишете:

тъй като вашите пари плюс парите на приятеля ви достигат до 200 долара.

След това напишете уравнение, за да опишете сравнението между приходите си.

защото сумата, която сте направили, е равна на 50 долара по-малка от тази, направена от вашия приятел. Можете също да напишете това уравнение катоY.​ + 50 = ​F, тъй като това, което сте спечелили плюс 50 долара, е равно на това, което е направил вашият приятел. Това са различни начини за писане на едно и също нещо и няма да променят окончателния ви отговор.

Така системата на уравненията изглежда така:

След това трябва да графирате и двете уравнения на една и съща координатна равнина. Графирайте сумата си,Y., нау-ос и сумата на вашия приятел,F, нах-ос (всъщност няма значение кой е кой, стига да ги маркирате правилно). Можете да използвате милиметрова хартия и молив, ръчен графичен калкулатор или онлайн графичен калкулатор.

В момента едно уравнение е в стандартна форма, а другото е в наклонена форма. Това не е проблем, задължително, но за да се постигне последователност, вземете и двете уравнения във форма на отсечка за наклон.

Така че за първото уравнение преобразувайте от стандартна форма в наклон-пресечна форма. Това означава да се реши заY.; с други думи, вземетеY.от само себе си от лявата страна на знака за равенство. Така че извадетеFот двете страни:

Не забравяйте, че във формата на прекъсване на наклон, числото пред F е наклонът, а константата е y-пресичането.

За да изобразите първото уравнение,Y.​ = −​F+ 200, нарисувайте точка на (0, 200) и след това използвайте наклона, за да намерите още точки. Наклонът е -1, затова слезте надолу по една единица и над една единица и нарисувайте точка. Това създава точка в (1, 199) и ако повторите процеса, започвайки с тази точка, ще получите друга точка в (2, 198). Това са малки движения на голяма линия, така че нарисувайте още една точка вх-прихванете, за да сте сигурни, че нещата са добре изобразени в дългосрочен план. АкоY.= 0, тогаваFще бъде 200, така че нарисувайте точка при (200, 0).

За да изобразите второто уравнение,Y.​ = ​F- 50, използвайте y-пресечната точка на −50, за да нарисувате първата точка на (0, −50). Тъй като наклонът е 1, започнете от (0, −50) и след това се качете с една единица нагоре и над една единица. Това ви поставя на (1, −49). Повторете процеса, започвайки от (1, −49) и ще получите трета точка при (2, −48). Отново, за да сте сигурни, че правите нещата спретнато на дълги разстояния, проверете се още веднъж, като също нарисуватех-прихващане. КогаY.​ = 0, ​Fще бъде 50, така че също нарисувайте точка на (50, 0). Начертайте чиста линия, свързваща тези точки.

Погледнете внимателно графиката си, за да видите къде се пресичат двете линии. Това ще бъде решението, защото решението на система от уравнения е точката (или точките), които правят и двете уравнения верни. На графика това ще изглежда като точката (или точките), където двете линии се пресичат.

В този случай двете линии се пресичат при (125, 75). Така че решението е, че вашият приятел (х-coordinate) направи $ 125 и вие (у-coordinate) направи $ 75.

Бърза проверка на логиката: Има ли смисъл това? Заедно двете стойности се добавят към 200, а 125 е с 50 повече от 75. Звучи добре.

В този случай имаше точно една точка, където двете линии се пресичаха. Когато работите със системи от уравнения, има три възможни резултата и всеки ще изглежда различно на графика.

• Ако системата има едно решение, линиите ще се пресичат в една точка, както направиха в примера.
• Ако системата няма решения, линиите никога няма да се пресичат. Те ще бъдат успоредни, което в алгебричен план означава, че ще имат същия наклон.
• Системата може да има и безкрайни решения, което означава, че вашите "две" линии всъщност са една и съща линия. Така че те ще имат всички общи точки, което е безкраен брой решения.