В математиката понякога възниква необходимостта да се докаже дали функциите са зависими или независими една от друга в линеен смисъл. Ако имате две функции, които са линейно зависими, графичните уравнения на тези функции водят до точки, които се припокриват. Функциите с независими уравнения не се припокриват, когато се графицират. Един метод за определяне дали функциите са зависими или независими е изчисляването на Wronskian за функциите.
Какво е Wronskian?
Вронскианът на две или повече функции е това, което е известно като детерминанта, което е специална функция, използвана за сравняване на математически обекти и доказване на определени факти за тях. В случая на Вронскиан детерминантата се използва за доказване на зависимост или независимост между две или повече линейни функции.
Вронската матрица
За да се изчисли Wronskian за линейни функции, функциите трябва да бъдат решени за една и съща стойност в рамките на матрица, която съдържа както функциите, така и техните производни. Пример за това е
W (f, g) (t) = \ начало {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
което осигурява на Вронскиан две функции (еиж), които са решени за една стойност, която е по-голяма от нула (T); можете да видите двете функциие(T) иж(T) в горния ред на матрицата и производние'(T) иж'(T) в долния ред. Имайте предвид, че Wronskian може да се използва и за по-големи комплекти. Ако например тествате три функции с Wronskian, тогава може да попълните матрица с функциите и производни нае(T), ж(T) из(T).
Решаване на Вронския
След като сте подредили функциите в матрица, умножете кръстосано всяка функция спрямо производната на другата функция и извадете първата стойност от втората. За горния пример това ви дава
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Ако окончателният отговор е равен на нула, това показва, че двете функции са зависими. Ако отговорът е нещо различно от нула, функциите са независими.
Пример на Вронскиан
За да ви дадем по-добра представа за това как работи това, приемете това
f (t) = x + 3 \ text {и} g (t) = x - 2
Използвайки стойност отT= 1, можете да решите функциите като
f (1) = 4 \ text {и} g (1) = -1
Тъй като това са основни линейни функции с наклон 1, производните и на дветее(T) иж(T) равно на 1. Кръстосаното умножаване на вашите стойности дава на
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
което осигурява краен резултат от 5. Въпреки че и двете линейни функции имат един и същ наклон, те са независими, тъй като точките им не се припокриват. Акое(T) беше дал резултат от -1 вместо 4, Вронскиан вместо това би дал резултат от нула, за да посочи зависимостта.