Всички студенти по математика и много студенти по природни науки се сблъскват с полиноми на даден етап от обучението си, но за щастие с тях е лесно да се справите, след като научите основите. Основните операции, които ще трябва да направите с полиномиални изрази, са добавяне, изваждане, умножение и разделяне и докато разделянето може да бъде сложно, през повечето време ще можете да се справите с основните неща лекота.
Полиноми: определение и примери
Многочлен описва алгебричен израз с един или повече термини, включващи променлива (или повече от една), с експоненти и евентуално константи. Те не могат да включват деление на променлива, не могат да имат отрицателни или дробни показатели и трябва да имат краен брой членове.
Този пример показва полином:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
И това показва още един:
xy ^ 2 - 3 x + y
Има много начини за класифициране на многочлените, включително по степен (сумата на степенните на най-високата степен, например 3 в първи пример) и по броя на членовете, които те съдържат, като мономи (един член), биноми (два члена) и триноми (три условия).
Събиране и изваждане на полиноми
Добавянето и изваждането на полиноми зависи от комбинирането на термини „харесвам“. Подобен термин е този със същите променливи и експоненти като друг, но броят, по който се умножават (коефициентът), може да бъде различен. Например,х2 и 4х 2 са като термини, защото имат една и съща променлива и степен, и 2xy 4 и 6xy 4 също са като термини. Въпреки това,х2, х3, х2у2 иу2 не са като термините, защото всеки от тях съдържа различни комбинации от променливи и експоненти.
Добавете полиноми, като комбинирате подобни термини по същия начин, както бихте направили с други алгебрични термини. Например погледнете проблема:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Съберете подобни условия, за да получите:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
И след това оценете, като просто съберете коефициентите и комбинирате в един член:
10 х ^ 3 + 5 х + у
Имайте предвид, че не можете да правите нищоузащото няма подобен термин.
Изваждането работи по същия начин:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Първо, обърнете внимание, че всички термини в дясната скоба се изваждат от тези в лявата скоба, така че го запишете като:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Комбинирайте подобни термини и оценете, за да получите:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
За проблем като този:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Имайте предвид, че знакът минус се прилага към целия израз в дясната скоба, така че двата отрицателни знака преди 3х2 станете знак за добавяне:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
След това изчислете както преди.
Умножаване на полиномиални изрази
Умножете полиномиални изрази, като използвате разпределителното свойство на умножението. Накратко, умножете всеки член в първия полином по всеки член във втория. Вижте този прост пример:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Вие решавате това с помощта на дистрибутивното свойство, така че:
\ начало {подравнено} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ край {подравнено}
Справете се с по-сложни проблеми по същия начин:
\ начало {подравнено} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 х ^ 2 + 2 х)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {подравнено}
Тези проблеми могат да се усложнят при по-големи групировки, но основният процес е все същият.
Разделяне на полиномиални изрази
Разделянето на полиномиални изрази отнема повече време, но можете да се справите с него на стъпки. Вижте израза:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Първо напишете израза като дълго деление, с делител вляво и дивидент вдясно:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Разделете първия член в дивидента на първия член в делителя и поставете резултата на линията над делението. В такъв случай,х2 ÷ х = х, така:
\ начало {подравнено} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {подравнено}
Умножете този резултат по целия делител, така че в този случай, (х + 2) × х = х2 + 2 х. Поставете този резултат под разделението:
\ начало {подравнено} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {подравнено}
Извадете резултата от новия ред от термините непосредствено над него (имайте предвид, че технически променяте знака, така че ако сте получили отрицателен резултат, ще го добавите вместо това) и поставете това на ред под него. Преместете и крайния срок от първоначалния дивидент надолу.
\ начало {подравнено} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {подравнено}
Сега повторете процеса с делителя и новия полином в долния ред. Така че разделете първия член на делителя (х) от първия член на дивидента (−5х) и поставете това по-горе:
\ начало {подравнено} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {подравнено}
Умножете този резултат (−5х ÷ х= −5) от оригиналния делител (така че (х + 2) × −5 = −5 х-10) и поставете резултата на нов долен ред:
\ начало {подравнено} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ край {подравнен}
След това извадете долния ред от следващия нагоре (така че в този случай променете знака и добавете) и поставете резултата на нов долен ред:
\ начало {подравнено} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {подравнено}
Тъй като в долната част има ред нули, процесът е завършен. Ако останаха ненулеви термини, ще повторите процеса отново. Резултатът е на горния ред, така че:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Това разделение и някои други могат да бъдат решени по-просто, ако можете множител на полинома в дивидента.