Когато започнете с три уравнения и три неизвестни (променливи), може да си помислите, че имате достатъчно информация, която да разрешите за всички променливи. Въпреки това, когато решавате система от линейни уравнения, използвайки метода на елиминиране, може да откриете, че системата не е достатъчно решен да намери един уникален отговор и вместо това е безкраен брой решения възможен. Това се случва, когато информацията в едно от уравненията в системата е излишна на информацията, съдържаща се в другите уравнения.
Пример 2x2
3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Тази система от уравнения е очевидно излишна. Можете да създадете едно уравнение от другото, като просто умножите по константа. С други думи, те предават същата информация. Въпреки че има две уравнения за двете неизвестни, x и y, решението на тази система не може да бъде стеснено до една стойност за x и една стойност за y. (x, y) = (1,1) и (5 / 3,0) го решават, както и много други решения. Това е вид "проблем", тази недостатъчност на информация, която води до безкраен брой решения и в по-големите системи от уравнения.
Пример 3x3
x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Подчертанията се използват само за поддържане на разстоянието.] Чрез метода на елиминиране елиминирайте x от втория ред, като извадите втория ред от първия, давайки x + y + z = 10 _2y= 10 x_ +z = 5 Елиминирайте x от третия ред, като извадите третия ред от първия. x + y + z = 10 _2y=10 у= 5 Явно последните две уравнения са еквивалентни. y е равно на 5 и първото уравнение може да бъде опростено чрез премахване на y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 или x + z = 5 y = 5 Имайте предвид, че методът на елиминиране тук няма да създаде хубава триъгълна форма, както прави, когато има едно уникално решение. Вместо това последното уравнение (ако не и повече) ще бъде абсорбирано в останалите уравнения. Сега системата е от три неизвестни и само две уравнения. Системата се нарича „недоопределена“, тъй като няма достатъчно уравнения, за да се определи стойността на всички променливи. Възможни са безкраен брой решения.
Как да напишем безкрайното решение
Безкрайното решение за горната система може да бъде записано чрез една променлива. Един от начините да го напишем е (x, y, z) = (x, 5,5-x). Тъй като x може да приеме безкраен брой стойности, решението може да приеме безкраен брой стойности.