Как да решим кубични уравнения

Решаването на полиномиални функции е ключово умение за всеки, който изучава математика или физика, но да се справите с процеса - особено когато става въпрос за функции от по-висок порядък - може да бъде доста предизвикателно. Кубичната функция е един от най-предизвикателните видове полиномиални уравнения, които може да се наложи да решите на ръка. Въпреки че може да не е толкова просто, колкото решаването на квадратно уравнение, има няколко метода можете да използвате, за да намерите решението на кубично уравнение, без да прибягвате до подробни страници и страници алгебра.

Кубичната функция е полином от трета степен. Обща полиномиална функция има формата:

Тук, х е променливата, н е просто всяко число (и степента на полинома), к е константа, а останалите букви са постоянни коефициенти за всяка степен на х. Така че кубична функция има н = 3 и е просто:

Където в този случай,

Всяко решение за х се нарича „корен“ от уравнението. Кубичните уравнения имат или един реален корен, или три, въпреки че могат да се повтарят, но винаги има поне едно решение.

Типът уравнение се дефинира от най-голямата степен, така че в горния пример не би било кубично уравнение, ако a = 0, защото най-високата степен на мощност би била bx² и би било квадратно уравнение. Това означава, че следното са всички кубични уравнения:

Най-лесният начин за решаване на кубично уравнение включва малко предположения и алгоритмичен тип процес, наречен синтетично деление. Началото, обаче, по същество е същото като метода проба и грешка за решения на кубични уравнения. Опитайте се да разберете какъв е един от корените, като познаете. Ако имате уравнение, където първият коефициент, а, е равно на 1, тогава е малко по-лесно да се отгатне един от корените, защото те винаги са фактори на постоянния член, който е представен по-горе от д.

Така че, разглеждайки следното уравнение, например:

Трябва да отгатнете една от стойностите за х, но оттогава а = 1 в този случай знаете, че каквато и да е стойността, тя трябва да е коефициент 24. Първият такъв фактор е 1, но това ще остави:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Което не е нула и -1 ще остави:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Което отново не е нула. Следващия, х = 2 ще даде:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Още един провал. Опитвайки х = −2 дава:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Това означава х = -2 е корен от кубичното уравнение. Това показва предимствата и недостатъците на метода проба и грешка: Можете да получите отговора без много мисъл, но отнема много време (особено ако трябва да отидете на по-високи фактори, преди да намерите корен). За щастие, когато намерите един корен, можете лесно да разрешите останалата част от уравнението.

Ключът е включването на теоремата за фактора. Това гласи, че ако х = s е решение, тогава (х – с) е фактор, който може да бъде изваден от уравнението. За тази ситуация, с = -2 и така (х + 2) е фактор, който можем да изтеглим, за да напуснем:

Членовете във втората група скоби имат формата на квадратно уравнение, така че ако намерите подходящите стойности за а и б, уравнението може да бъде решено.

Това може да се постигне с помощта на синтетично разделяне. Първо запишете коефициентите на първоначалното уравнение в горния ред на таблица с разделителна линия и след това познатия корен вдясно:

Оставете един резервен ред и след това добавете хоризонтална линия под него. Първо вземете първото число (1 в случая) до реда под хоризонталната ви линия

Сега умножете току-що сваленото число по известния корен. В този случай 1 × -2 = -2 и това се записва под следващото число в списъка, както следва:

След това добавете числата във втората колона и поставете резултата под хоризонталната линия:

Сега повторете процеса, през който току-що сте преминали, с новото число под хоризонталната линия: Умножете по root, поставете отговора в празното място в следващата колона и след това добавете колоната, за да получите ново число в долния ред. Това оставя:

И след това преминете през процеса за последен път.

Фактът, че последният отговор е нула, ви казва, че имате валиден корен, така че ако това не е нула, значи сте допуснали грешка някъде.

Сега, долният ред ви казва факторите на трите термина във втория набор от скоби, така че можете да напишете:

И така:

Това е най-важният етап от решението и можете да завършите от този момент нататък по много начини.

След като премахнете фактор, можете да намерите решение, като използвате факторизация. От горната стъпка това по същество е същият проблем като факторирането на квадратно уравнение, което в някои случаи може да бъде предизвикателно. За израза обаче:

Ако си спомняте, че двете числа, които поставяте в скобите, трябва да добавите, за да дадете втория коефициент (7) и да умножите, за да дадете третия (12), е доста лесно да се види, че в този случай:

Можете да умножите това, за да проверите, ако искате. Не се чувствайте обезсърчени, ако не можете да видите факторизацията веднага; отнема малко практика. Това оставя първоначалното уравнение като:

Което можете веднага да видите, има решения в х = -2, 3 и 4 (всички от които са фактори 24, първоначалната константа). На теория може също да е възможно да се види цялата факторизация, започвайки от оригиналната версия на уравнението, но това е много по-предизвикателно, затова е по-добре да намерите едно решение от проби и грешки и да използвате подхода по-горе, преди да се опитате да откриете a факторизация.

Ако се мъчите да видите факторизацията, можете да използвате формулата на квадратното уравнение:

За да намерите останалите решения.

Въпреки че е много по-голям и по-малко лесен за справяне, има прост решател на кубични уравнения под формата на кубична формула. Това е като формулата на квадратното уравнение, тъй като просто въвеждате стойностите си а, б, ° С и д за да получите решение, но е просто много по-дълго.

Той гласи, че:

където

и

Използването на тази формула отнема много време, но ако не искате да използвате метода проба и грешка за решения на кубични уравнения и след това квадратната формула, това работи, когато преминете през всичко.