Всеки ученик по алгебра на по-високи нива трябва да се научи да решава квадратни уравнения. Това са тип полиномно уравнение, което включва степен 2, но нито една по-висока и имат общата форма:брадва2 + bx + ° С= 0. Можете да ги разрешите, като използвате формулата на квадратното уравнение, като разложите на фактори или като попълните квадрата.
TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)
Първо потърсете факторизация за решаване на уравнението. Ако няма един, освенбкоефициентът се дели на 2, попълнете квадрата. Ако нито един от подходите не е лесен, използвайте формулата на квадратното уравнение.
Използване на факторизация за решаване на уравнението
Факторизацията използва факта, че дясната страна на стандартното квадратно уравнение е равна на нула. Това означава, че ако можете да разделите уравнението на два члена в скоби, умножени помежду си, можете да разработите решенията, като помислите какво би направило всяка скоба равна на нула. За да дадете конкретен пример:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Сравнете това със стандартния формуляр:
брадва ^ 2 + bx + c = 0
В примераа = 1, б= 6 и° С= 9. Предизвикателството на факторизирането е намирането на две числа, които се събират, за да се даде числото вбмясто и умножете заедно, за да получите числото на мястото за° С.
И така, представяйки числата чрездид, търсите числа, които удовлетворяват:
d + e = b
Или в този случай, сб = 6:
d + e = 6
И
d × e = c
Или в този случай, с° С = 9:
d × e = 9
Фокусирайте се върху намирането на числа, които са фактори на° Си след това ги добавете заедно, за да видите дали са равниб. Когато имате вашите номера, поставете ги в следния формат:
(x + d) (x + e)
В горния пример и дветедидса 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Ако умножите скобите, ще получите отново оригиналния израз и това е добра практика да проверите факторизацията си. Можете да преминете през този процес (чрез умножаване на първата, вътрешната, външната и последната части на скобите на свой ред - вижте Ресурси за повече подробности), за да го видите в обратен ред:
\ начало {подравнено} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ край {подравнено}
Факторизацията ефективно преминава през този процес в обратна посока, но може да бъде предизвикателство да се разработи правилният начин за факторизиране на квадратното уравнение и този метод не е идеален за всяко квадратно уравнение за това причина. Често трябва да отгатнете факторизация и след това да я проверите.
Проблемът сега е да направим някой от изразите в скоби да излезе равен на нула чрез вашия избор на стойност зах. Ако една от скобите е равна на нула, цялото уравнение е равно на нула и вие сте намерили решение. Погледнете последния етап [(х + 3) (х+ 3) = 0] и ще видите, че единственото време, когато скобите излязат на нула, е ifх= −3. В повечето случаи обаче квадратните уравнения имат две решения.
Факторизацията е още по-предизвикателна, акоане е равно на единица, но фокусирането върху прости случаи е по-добре в началото.
Попълване на квадрата за решаване на уравнението
Попълването на квадрата ви помага да решите квадратни уравнения, които не могат лесно да бъдат разложени на фактори. Този метод може да работи за всяко квадратно уравнение, но някои уравнения му подхождат повече от други. Подходът включва превръщането на израза в перфектен квадрат и решаването му. Общ перфектен квадрат се разширява по следния начин:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
За да решите квадратно уравнение чрез попълване на квадрата, вземете израза във формата от дясната страна на горното. Първо разделете числото вбпозиция с 2 и след това квадрат резултата. Така че за уравнението:
x ^ 2 + 8x = 0
Коефициентътб= 8, така чеб÷ 2 = 4 и (б ÷ 2)2 = 16.
Добавете това към двете страни, за да получите:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Имайте предвид, че тази форма съвпада с идеалната квадратна форма сд= 4, така че 2д= 8 ид2 = 16. Това означава, че:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Вмъкнете това в предишното уравнение, за да получите:
(x + 4) ^ 2 = 16
Сега решете уравнението зах. Вземете квадратния корен от двете страни, за да получите:
x + 4 = \ sqrt {16}
Извадете 4 от двете страни, за да получите:
x = \ sqrt {16} - 4
Коренът може да бъде положителен или отрицателен, а приемането на отрицателния корен дава:
x = -4 - 4 = -8
Намерете другото решение с положителния корен:
x = 4 - 4 = 0
Следователно единственото ненулево решение е -8. Проверете това с оригиналния израз, за да потвърдите.
Използване на квадратната формула за решаване на уравнението
Формулата на квадратното уравнение изглежда по-сложна от другите методи, но това е най-надеждният метод и можете да го използвате за всяко квадратно уравнение. Уравнението използва символите от стандартното квадратно уравнение:
брадва ^ 2 + bx + c = 0
И заявява, че:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Поставете съответните числа на техните места и работете с формулата за решаване, като не забравяте да опитате както да извадите, така и да добавите квадратния корен член и да отбележите и двата отговора. За следния пример:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Ти имаша = 1, б= 6 и° С= 5. Така че формулата дава:
\ начало {подравнено} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {align}
Приемането на положителния знак дава:
\ начало {подравнено} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ край {подравнено}
И вземането на отрицателния знак дава:
\ начало {подравнено} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {подравнено}
Кои са двете решения за уравнението.
Как да определим най-добрия метод за решаване на квадратни уравнения
Потърсете факторизация, преди да опитате нещо друго. Ако можете да забележите едно, това е най-бързият и лесен начин за решаване на квадратно уравнение. Не забравяйте, че търсите две числа, които са суми добкоефициент и се умножава, за да се получи° Скоефициент. За това уравнение:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Можете да забележите, че 2 + 3 = 5 и 2 × 3 = 6, така че:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Их= -2 илих = −3.
Ако не виждате факторизация, проверете далибкоефициентът се дели на 2, без да се прибягва до дроби. Ако е така, попълването на квадрата е може би най-лесният начин за решаване на уравнението.
Ако нито един от подходите не изглежда подходящ, използвайте формулата. Това изглежда като най-трудният подход, но ако сте на изпит или сте принудени по друг начин, това може да направи процеса много по-малко стресиращ и много по-бърз.