В математиката последователността е всеки низ от числа, подредени в нарастващ или намаляващ ред. Последователността се превръща в геометрична последователност, когато можете да получите всяко число чрез умножаване на предишното число по общ коефициент. Например серията 1, 2, 4, 8, 16... е геометрична последователност с общия фактор 2. Ако умножите произволно число от поредицата по 2, ще получите следващото число. За разлика от тях, последователността 2, 3, 5, 8, 14, 22... не е геометричен, защото няма общ фактор между числата. Геометричната последователност може да има дробен общ коефициент, като в този случай всяко следващо число е по-малко от предшестващото го. 1, 1/2, 1/4, 1/8... е пример. Общият му фактор е 1/2.
Фактът, че геометричната последователност има общ фактор, ви позволява да направите две неща. Първият е да се изчисли произволен произволен елемент в последователността (който математиците обичат да наричат "нth "елемент), а вторият е да се намери сумата от геометричната последователност до
нth елемент. Когато сумирате последователността, като поставите знак плюс между всяка двойка термини, превръщате последователността в геометрична серия.Намиране на n-ия елемент в геометрична серия
Като цяло можете да представите всяка геометрична серия по следния начин:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
където "а"е първият мандат от поредицата и"rе общият фактор. За да проверите това, помислете за поредицата, в коятоа= 1 иr= 2. Получавате 1 + 2 + 4 + 8 + 16... работи!
След като установихме това, вече е възможно да извлечем формула за n-ия член в последователността (хн).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Експонентата ен- 1, а ненза да позволи първият член в последователността да бъде записан катоар0, което е равно на "а."
Проверете това, като изчислите 4-ия член от примерната поредица.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Изчисляване на сумата на геометрична последователност
Ако искате да сумирате разнопосочна последователност, която е такава с общ дажби, по-голям от 1 или по-малък от -1, можете да го направите само до краен брой членове. Възможно е обаче да се изчисли сумата на една безкрайна конвергентна последователност, която е една с общо съотношение между 1 и - 1.
За да разработите формулата за геометрична сума, започнете, като обмислите какво правите. Търсите общата сума от следните серии попълнения:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Всеки член от поредицата еарк, икпреминава от 0 дон− 1. Формулата за сумата от поредицата използва знака сигма на капитала - ∑ - което означава да добавите всички членове от (к= 0) до (к = н − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
За да проверите това, вземете предвид сумата от първите 4 члена на геометричната редица, започваща от 1 и имаща общ коефициент 2. В горната формула,а = 1, r= 2 ин= 4. Включвайки тези стойности, получавате:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
Това е лесно да се провери, като добавите числата в поредицата сами. Всъщност, когато имате нужда от сумата от геометрична серия, обикновено е по-лесно да добавите числата сами, когато има само няколко термина. Ако серията има голям брой членове, все пак е много по-лесно да се използва формулата за геометрична сума.