Тригонометрията може да се почувства като доста абстрактна тема. Тайнствените термини като „грях“ и „cos“ изглежда не отговарят на нищо в действителност и е трудно да ги разберем като понятия. Единичната окръжност помага значително за това, предлагайки ясно обяснение какви са числата, които получавате, когато вземете синус, косинус или тангенс на ъгъл. За всеки студент по природни науки или математика разбирането на единичния кръг наистина може да затвърди разбирането ви за тригонометрията и как да използвате функциите.
TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)
Единичната окръжност има радиус от единица. Представете сиxyкоординатна система, започваща в центъра на този кръг. Точковите ъгли се измерват от къдех= 1 иу= 0, от дясната страна на кръга. Ъглите се увеличават, докато се движите обратно на часовниковата стрелка.
Използвайки тази рамка иузау-координат ихзах-координата на точката върху окръжността:
гряхθ = у
cosθ = х
И следователно:
тенθ = у / х
Какво представлява единичният кръг?
Кръгът „единица“ има радиус 1. С други думи, разстоянието от центъра на кръга до която и да е част от ръба е винаги 1. Мерната единица всъщност няма значение, защото най-важното за единичната окръжност е, че прави много уравнения и изчисления много по-опростени.
Той също така служи като полезна основа за разглеждане на дефинициите на ъгли. Представете си, че центърът на кръга се намира в центъра на координатна система сх-ос, работеща хоризонтално и aу-ос, работеща вертикално. Кръгът пресичах-ос прих = 1, у= 0. Учените и математиците определят ъгъла от тази точка, движещ се в посока, обратна на часовниковата стрелка. Така че въпросътх =1, у= 0 върху окръжността е под ъгъл 0 °.
Определенията на греха и коса с единичния кръг
Обичайните определения за грях, cos и тен, дадени на учениците, се отнасят до триъгълниците. Те заявяват:
\ sin θ = \ frac {\ text {отсреща}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {съседен}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ тен θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
"Обратното" се отнася до дължината на страната на триъгълника, противоположно на ъгъла, "съседно" се отнася до дължина на страната до ъгъла и "хипотенуза" се отнася до дължината на диагоналната страна на триъгълник.
Представете си, че създавате триъгълник, така че хипотенузата винаги да е радиусът на единичната окръжност, с един ъгъл в края на окръжността и един в центъра му. Това означава, че хипотенузата = 1 в уравненията по-горе, така че първите две стават:
\ sin θ = \ frac {\ text {отсреща}} {1} = \ text {отсреща} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {съседен}} {1} = \ text {съседен} \\
Ако направите въпросния ъгъл този в центъра на окръжността, обратното е самоу-координат и съседното е самох-координата на точката върху окръжността, която докосва триъгълника. С други думи, грехът връщау-координата върху единичната окръжност (използвайки координати, които започват в центъра) за даден ъгъл и cos връщах-координатен. Ето защо cos (0) = 1 и sin (0) = 0, защото в този момент това са координатите. По същия начин cos (90) = 0 и sin (90) = 1, защото това е точката сх= 0 иу= 1. Във форма на уравнение:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Отрицателните ъгли също са лесни за разбиране въз основа на това. Отрицателните ъгли (измерени по часовниковата стрелка от началната точка) имат еднаквихкоординира като съответния положителен ъгъл, така че:
\ cos -θ = \ cos θ
както и да еу-координатни превключватели, което означава, че
\ sin -θ = - \ sin θ
Определението за тен с единичния кръг
Дефиницията на тен, дадена по-горе, е:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Но с дефинициите за единичен кръг на sin и cos, можете да видите, че това е еквивалентно на:
\ tan θ = \ frac {\ text {отсреща}} {\ text {съседен}}
Или, мислейки по отношение на координати:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Това обяснява защо тенът е неопределен за 90 ° или -270 ° и 270 ° или -90 ° (къдетох= 0), защото не можете да разделите на нула.
Графиране на тригонометрични функции
Графирането на греха или cos става по-лесно, когато мислите за единичната окръжност. Theх-координатата варира плавно, докато се движите по кръга, започвайки от 1 и намалявайки до минимум -1 при 180 ° и след това увеличавайки по същия начин. Функцията грях прави същото, но първо се увеличава до максимална стойност 1 при 90 °, преди да следва същия модел. За двете функции се казва, че са на 90 ° извън „фазата“ помежду си.
Графичният тен изисква разделянеуотх, и така е по-сложен за графика, а също така има точки, където е недефиниран.
