Кръговете са навсякъде в реалния свят, поради което техните радиуси, диаметри и обиколка са важни в приложенията в реалния живот. Но има и други части от кръгове - сектори и ъгли, например - които също имат значение в ежедневните приложения. Примерите включват секторни размери на кръгла храна като торти и пайове, ъгълът, изминат във виенско колело, оразмеряване на гума към конкретно превозно средство и особено оразмеряване на пръстен за зацепване или сватба. Поради тези и повече причини, геометрията също има уравнения и изчисления на проблеми, занимаващи се с централни ъгли, дъги и сектори на окръжност.
Какво представлява централният ъгъл?
Централният ъгъл се определя като ъгълът, създаден от два лъча или радиуса, излъчващи се от центъра на окръжност, като центърът на кръга е върхът на централния ъгъл. Централните ъгли са особено подходящи, когато става въпрос за равномерно разделяне на пица или друга храна на кръгла основа сред определен брой хора. Да предположим, че има петима души в зала, където трябва да се споделя голяма пица и голяма торта. Какъв е ъгълът, на който трябва да се разделят и пицата, и тортата, за да се осигури еднаква филия за всички? Тъй като в кръг има 360 градуса, изчислението става 360 градуса, разделено на 5, за да се получат 72 градуса, така че всяка филия, независимо дали е от пицата или тортата, ще има централен ъгъл или тета (θ), с размери 72 градуса.
Определяне на централния ъгъл от дължината на дъгата
Дъга на кръга се отнася до „част“ от обиколката на кръга. Следователно дължината на дъгата е дължината на тази „част“. Ако си представите парче пица, секторната област може да бъде визуализиран като цял парче пица, но дължината на дъгата е дължината на външния ръб на кората за това конкретна филия. От дължината на дъгата може да се изчисли централният ъгъл. Всъщност една формула, която може да помогне при определянето на централния ъгъл, гласи, че дължината (ите) на дъгата е равна на радиуса, умножен по централния ъгъл, или
s = r × θ
където ъгълът, тета, трябва да се измерва в радиани. Така че, за да се реши за централния ъгъл, theta, трябва само да се раздели дължината на дъгата на радиуса, или
\ frac {s} {r} = θ
За илюстрация, ако дължината на дъгата е 5,9, а радиусът е 3,5329, тогава централният ъгъл става 1,67 радиана. Друг пример е, ако дължината на дъгата е 2, а радиусът е 2, централният ъгъл става 1 радиан. Ако искате да преобразувате радиани в градуси, не забравяйте, че 1 радиан е равен на 180 градуса, разделен на π, или 57.2958 градуса. И обратно, ако уравнение иска да преобразува градусите обратно в радиани, първо умножете по π и след това разделете на 180 градуса.
Определяне на централния ъгъл от секторната зона
Друга полезна формула за определяне на централния ъгъл се предоставя от областта на сектора, която отново може да се визуализира като парче пица. Тази конкретна формула може да се види по два начина. Първият има централния ъгъл, измерен в градуси, така че площта на сектора да е равна на π умножена по квадратен радиус и след това се умножава по количеството на централния ъгъл в градуси, разделено на 360 градуса. С други думи:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {централен ъгъл в градуси}} {360 \ text {градуси}} = \ text {секторна област}
Ако централният ъгъл се измерва в радиани, формулата вместо това става:
\ text {област на сектора} = r ^ 2 × \ frac {\ text {централен ъгъл в радиани}} {2}
Пренареждането на формулите ще помогне да се реши стойността на централния ъгъл или тита. Помислете за секторна площ от 52,3 квадратни сантиметра с радиус 10 сантиметра. Какъв би бил централният ъгъл в градуси? Изчисленията ще започнат с площ на сектора от 52,3 квадратни сантиметра, равна на:
\ frac {θ} {360 \ текст {градуси}} × πr ^ 2
Тъй като радиусът (r) е равно на 10, цялото уравнение може да бъде записано като:
\ frac {52.3} {100π} × 360
за да може тета да се запише като:
\ frac {52.3} {314} × 360
Така окончателният отговор се превръща в централен ъгъл от 60 градуса.