Обемът на триизмерното твърдо вещество е количеството триизмерно пространство, което то заема. Обемът на някои прости фигури може да се изчисли директно, когато е известна повърхността на една от страните му. Обемът на много форми може също да се изчисли от техните повърхности. Обемът на някои по-сложни форми може да се изчисли с интегрално смятане, ако функцията, описваща нейната повърхност, е интегрируема.
Нека \ "S \" е твърдо тяло с две успоредни повърхности, наречени \ "бази. \" Всички напречни сечения на твърдото тяло, които са успоредни на основите, трябва да имат същата площ като основите. Нека \ "b \" е площта на тези напречни сечения, а \ "h \" е разстоянието, разделящо двете равнини, в които лежат основите.
Изчислете обема на \ "S \" като V = bh. Призмите и цилиндрите са прости примери за този тип твърдо тяло, но той включва и по-сложни форми. Обърнете внимание, че обемът на тези твърди вещества може лесно да бъде изчислен, колкото и сложна да е формата на основата, стига да са налице условията в стъпка 1 и да е известна повърхността на основата.
Нека \ "P \" е твърдо тяло, образувано чрез свързване на основа с точка, наречена връх. Нека разстоянието между върха и основата е \ "h, \", а разстоянието между основата и напречно сечение, успоредно на основата, да бъде \ "z. \" Освен това, нека площта на основата бъде \ "b \", а площта на напречното сечение да бъде \ "c. \" За всички такива сечения, (h - z) / h = в / б.
Изчислете обема на \ "P \" в стъпка 3 като V = bh / 3. Пирамидите и конусите са прости примери за този тип твърдо вещество, но той включва и по-сложни форми. Основата може да има всякаква форма, стига да е известна нейната повърхност и да са налице условията в стъпка 3.
Изчислете обема на сфера от нейната повърхност. Повърхността на сферата е A = 4? R ^ 2. Чрез интегриране на тази функция по отношение на \ "r, \" получаваме обема на сферата като V = 4/3? R ^ 3.