Какво се случва, когато вдигнете число до дроб?

Когато „вдигнете число до степен“, вие умножавате числото само по себе си и „степента“ представлява колко пъти го правите. Значи 2, повдигнати до 3-та степен, е същото като 2 x 2 x 2, което е равно на 8. Когато вдигнете число до дроб, обаче, вие вървите в обратна посока - опитвате се да намерите "корена" на числото.

Математическият термин за повишаване на число до степен е „степенуване“. Експоненциалният израз има две части: основата, която е числото, което набирате, и степента, която е „степента“. Така че, когато вдигнете 2 до 3-та степен, основата е 2 и степента е 3. Повишаването на основата до 2-ра степен обикновено се нарича квадратура на основата, докато повишаването й до 3-та степен обикновено се нарича кубиране на основата. Математиците обикновено пишат експоненциални изрази с експонента в горен индекс - тоест като малък брой в горния десен ъгъл на основата. Тъй като някои компютри, калкулатори и други устройства не се справят много добре с горния индекс, експоненциалните изрази също често се пишат по следния начин: 2 ^ 3. Каретката - посоченият нагоре символ - ви казва, че това, което следва, е степента.

В математиката "корените" са малко като експоненти в обратна посока. Например, вземете "2 към 4-та степен", съкратено като 2 ^ 4. Това е равно на 2 х 2 х 2 х 2 или 16. Тъй като 2, умножено по себе си четири пъти, е равно на 16, "4-тият корен" от 16 е 2. Сега вижте числото 729. Това се разпада на 9 x 9 x 9 - така 9 е 3-тият корен от 729. Той също се разпада на 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 - така че 3 е 6-ти корен от 729. Вторият корен на число обикновено се нарича корен квадратен, а 3-тият корен е корен на куб.

Когато степента е дроб, вие търсите корен на основата. Коренът съответства на знаменателя на фракцията. Например, вземете "125 повдигнати до 1/3 мощност", или 125 ^ 1/3. Знаменателят на фракцията е 3, така че търсите 3-ти корен (или куб корен) от 125. Тъй като 5 х 5 х 5 = 125, 3-тият корен от 125 е 5. По този начин 125 ^ 1/3 = 5. Сега опитайте 256 ^ 1/4. Търсите четвъртия корен от 256. Тъй като 4 x 4 x 4 x 4 = 256, отговорът е 4.

The дробни експоненти обсъдени до този момент - 1/3 и 1/4 - имат всеки числител 1. Ако числителят е нещо различно от 1, показателят всъщност ви инструктира да извършите две операции: намиране на корен и повишаване в степен. Например, вземете 8 ^ 2/3. Знаменателят "3" ви казва, че търсите корен на куб; числителят "2" ви казва, че ще вдигнете до 2-ра степен. Няма значение коя операция ще извършите първо. Така или иначе ще получите същия резултат. Така че можете да започнете, като вземете 3-ти корен от 8, което е 2, и след това го вдигнете до 2-ра степен, която ще ви даде 4. Или можете да започнете, като повишите 8 до 2-ра степен, която е равна на 64, и след това вземете 3-ти корен от това число, което е 4. Същият резултат.

Всъщност правилото за „числител като степен, знаменател като корен“ се прилага за всички експоненти - дори експоненти с цяло число и частични експоненти с числител 1. Например цялото число 2 е еквивалент на фракцията 2/1. Така че експоненциалният израз 9 ^ 2 е "наистина" 9 ^ 2/1. Повишаването на 9 до 2-ра степен ви дава 81. Сега трябва да получите "1-ви корен" от 81. Но първият корен на произволно число е самото число, така че отговорът остава 81. Сега погледнете израза 9 ^ 1/2. Можете да започнете с повишаване на 9 до „1-ва степен“. Но всяко число, повишено до 1-ва степен, е самото число. Така че всичко, което трябва да направите, е да получите квадратния корен от 9, което е 3. Правилото все още важи, но в тези ситуации можете да пропуснете стъпка.