Как да намерим най-големия общ фактор на две числа

Намирането на най-големия общ коефициент или GCF на две числа е полезно в много ситуации по математика, но особено когато става въпрос за опростяване на фракциите. Ако се борите с това или намирате общи знаменатели, изучаването на два метода за намиране на общи фактори ще ви помогне да постигнете това, което си поставяте за цел. Първо обаче е добра идея да се запознаете с основите на факторите; след това можете да разгледате два подхода за намиране на общи фактори. И накрая, можете да разгледате как да приложите знанията си, за да опростите една дроб.

Факторите са числата, които умножавате заедно, за да получите друго число. Например 2 и 3 са фактори на 6, защото 2 × 3 = 6. По същия начин 3 и 3 са фактори на 9, тъй като 3 × 3 = 9. Както може би знаете, простите числа са числа, които нямат други фактори освен себе си и 1. Така че 3 е просто число, защото единствените две цели числа (цели числа), които могат да се умножават заедно, за да дадат 3 като отговор, са 3 и 1. По същия начин 7 е просто число, както и 13.

Поради това често е полезно да се раздели редица на „основни фактори“. Това означава да се намерят всички коефициенти на просто число на друго число. По принцип той разделя броя на основните му „градивни елементи“, което е полезна стъпка към намирането на най-големия общ множител на две числа и също е безценно, когато става въпрос за опростяване на квадрата корени.

Най-простият метод за намиране на най-големия общ фактор на две числа е просто да се изброят всички фактори на всяко число и да се потърси най-голямото число, което и двамата споделят. Представете си, че искате да намерите най-високия общ коефициент 45 и 60. Първо, разгледайте различните числа, които можете да умножите заедно, за да получите 45.

Най-лесният начин да започнете е с двете, за които знаете, че ще работят, дори и за просто число. В този случай знаем 1 × 45 = 45, така че знаем, че 1 и 45 са фактори на 45. Това са първият и последният коефициент от 45, така че можете просто да попълните оттам. След това разберете дали 2 е фактор. Това е лесно, защото всяко четно число ще се дели на 2, а всяко нечетно число няма. Знаем, че 2 не е коефициент 45. Ами 3? Трябва да можете да забележите, че 3 е коефициент 45, защото 3 × 15 = 45 (винаги можете да надграждате върху това, което сте знайте, за да се справите, например, ще знаете, че 3 × 12 = 36 и добавянето на тройки към това ви отвежда 45).

След това, 4 коефициент ли е 45? Не - знаете 11 × 4 = 44, така че не може да бъде! След това, какво ще кажете за 5? Това е още едно лесно, защото всяко число, завършващо на 0 или 5, се дели на 5. И с това лесно можете да забележите, че 5 × 9 = 45. Но 6 не е добре, защото 7 × 6 = 42 и 8 × 6 = 48. От това можете също да видите, че 7 и 8 не са фактори на 45. Вече знаем, че 9 е и е лесно да се види, че 10 и 11 не са фактори. Продължете този процес и ще забележите, че 15 е фактор, но нищо друго не е така.

Така че факторите на 45 са: 1, 3, 5, 9, 15 и 45.

За 60, вие преминавате през абсолютно същия процес. Този път числото е четно (така че знаете, че 2 е фактор) и делимо на 10 (така че 5 и 10 са и двата фактора), което улеснява нещата. След като преминете отново през процеса, трябва да видите, че факторите на 60 са: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

Сравняването на двата списъка показва, че 15 е най-големият общ фактор на 45 и 60. Този метод може да отнеме много време, но е прост и винаги ще работи. Можете също така да започнете с всеки висок общ коефициент, който можете да забележите веднага, и след това просто да потърсите по-високи коефициенти за всяко число.

Вторият метод за намиране на GCF за две числа е да се използват прости фактори. Процесът на първостепенно разлагане е малко по-лесен и по-структуриран от намирането на всеки фактор. Нека да преминем през процеса за 42 и 63.

Процесът на разлагане на прости числа на практика включва разбиване на числото, докато не останат само прости числа. Най-добре е да започнете с най-малкия прост (два) и да работите оттам. Така че за 42 е лесно да се види, че 2 × 21 = 42. Тогава работа от 21: Фактор 2 ли е? Не е ли 3? Да! 3 × 7 = 21, а 3 и 7 са и прости числа. Това означава, че основните фактори на 42 са 2, 3 и 7. Първият „пробив“ използва 2, за да стигне до 21, а вторият разби това на 3 и 7. Можете да проверите това, като умножите всичките си фактори заедно и проверите дали получавате оригиналното число: 2 × 3 × 7 = 42.

За 63 2 не е фактор, но 3 е, защото 3 × 21 = 63. Отново, 21 се разделя на 3 и 7 - и двете първични - така че знаете основните фактори! Проверката показва, че 3 × 3 × 7 = 63, както се изисква.

Можете да намерите най-високия общ коефициент, като разгледате кои основни фактори имат двете общи числа. В този случай 42 има 2, 3 и 7, а 63 има 3, 3 и 7. Те имат 3 и 7 общи точки. За да намерите най-високия общ коефициент, умножете всички общи общи фактори заедно. В този случай 3 × 7 = 21, така че 21 е най-големият общ коефициент на 42 и 63.

Предишният пример може да бъде решен по-бързо и по този начин. Тъй като 45 се дели на три (3 × 15 = 45) и 15 също се дели на три (3 × 5 = 15), основните фактори на 45 са 3, 3 и 5. За 60 се дели на две (2 × 30 = 60), 30 се дели и на две (2 × 15 = 30) и след това ви остава 15, за които знаем, че три и пет са основни фактори, оставяйки 2, 2, 3 и 5. Сравнявайки двата списъка, три и пет са често срещаните основни фактори, така че най-големият общ фактор е 3 × 5 = 15.

В случай, че има три или повече общи фактори, умножавате всички заедно по един и същ начин, за да намерите най-големия общ коефициент.

Ако сте представени с дроб като 32/96, той може да направи много сложни изчисления, които идват след него, много сложно, освен ако не намерите начин да опростите дробта. Намирането на най-ниския общ коефициент от 32 и 96 ще ви каже числото, което да разделите и на двете, за да получите по-проста дроб. В такъв случай:

За 96 процесът дава:

Трябва да е ясно, че 2⁵ = 32 е най-високият общ фактор. Разделянето на двете части на фракцията на 32 дава:

Намирането на общи знаменатели е подобен процес. Представете си, че е трябвало да добавите дроби 15/45 и 40/60. От първия пример знаем, че 15 е най-високият общ коефициент от 45 и 60, така че веднага можем да ги изразим като 5/15 и 10/15. Тъй като 3 × 5 = 15 и двата числителя също се делят на пет, можем да разделим и двете части на двете фракции на пет, за да получим 1/3 и 2/3. Сега те са много по-лесни за добавяне и виждане на това