След като започнете да правите тригонометрия и смятане, може да срещнете изрази като грях (2θ), където трябва да намерите стойността наθ. Възпроизвеждането на проби и грешки с диаграми или калкулатор за намиране на отговора ще варира от разтегнат кошмар до напълно невъзможно. За щастие двойноъгълните идентичности са тук, за да помогнат. Това са специални случаи на това, което е известно като съставна формула, която разбива функциите на формите (A + Б.) или (A – Б.) надолу във функции на justAиБ..
Двуъгълните идентичности за синус
Има три идентичности с двоен ъгъл, по една за функциите на синус, косинус и тангенс. Но синусоидалната и косинусовата идентичност могат да бъдат написани по много начини. Ето двата начина за писане на двойноъгълната идентичност за синусоидната функция:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Двуъгълните идентичности за косинус
Има още повече начини за писане на двойноъгълната идентичност за косинус:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Двуъгълната идентичност за тангента
За щастие, има само един начин да напишете двойноъгълната идентичност за допирателната функция:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Използване на двуъгълни идентичности
Представете си, че сте изправени пред правоъгълен триъгълник, където знаете дължината на страните му, но не и мярката на ъглите му. Вие сте помолени да намеритеθ, къдетоθе един от ъглите на триъгълника. Ако хипотенузата на триъгълника измерва 10 единици, страната, съседна на вашия ъгъл, измерва 6 единици а страната, противоположна на ъгъла, измерва 8 единици, няма значение, че не знаете мяркатаθ; можете да използвате знанията си за синус и косинус, плюс една от формулите с двоен ъгъл, за да намерите отговора.
След като сте избрали ъгъл, можете да дефинирате синус като съотношение на противоположната страна спрямо хипотенузата, а косинус като отношение на съседната страна над хипотенузата. Така че в току-що дадения пример имате:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Намирате тези два израза, защото те са най-важните градивни елементи за формулите с двоен ъгъл.
Тъй като има толкова много формули с двоен ъгъл, от които можете да избирате, можете да изберете тази, която изглежда по-лесна за изчисляване и ще върне вида на информацията, от която се нуждаете. В този случай, защото знаете грехаθи cosθвече е ясно, че най-удобният израз е:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Вече знаете стойностите на sinθ и cosθ, така че ги заменете в уравнението:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
След като опростите, ще имате:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
Повечето тригонометрични диаграми са дадени в десетични знаци, така че следващата работа е разделена, представена от фракцията, за да се превърне в десетична форма. Сега имате:
\ sin (2θ) = 0,96
Накрая намерете обратния синус или арксинус от 0,96, който е записан като грях −1(0.96). Или, с други думи, използвайте вашия калкулатор или диаграма, за да приближите ъгъла, който има синус 0,96. Както се оказва, това е почти точно равно на 73,7 градуса. Така че 2θ= 73,7 градуса.
Разделете всяка страна на уравнението на 2. Това ви дава:
θ = 36,85 \ текст {градуса}
