В математиката контрапример се използва за опровергаване на твърдение. Ако искате да докажете, че дадено твърдение е вярно, трябва да напишете доказателство, за да докажете, че то винаги е вярно; даването на пример не е достатъчно. В сравнение с писането на доказателство, писането на контрапример е много по-просто; ако искате да покажете, че дадено твърдение не е вярно, трябва да предоставите само един пример за сценарий, в който изявлението е невярно. Повечето контрапримери в алгебрата включват числени манипулации.
Два часа по математика
Написването на корекции и намирането на контрапримери са два от основните класове по математика. Повечето математици се съсредоточават върху коректурата, за да разработят нови теореми и свойства. Когато твърдения или предположения не могат да бъдат доказани верни, математиците ги опровергават, като дават контрапримери.
Контрапримерите са конкретни
Вместо да използвате променливи и абстрактни обозначения, можете да използвате числови примери, за да опровергаете аргумент. В алгебрата повечето контрапримери включват манипулация с използване на различни положителни и отрицателни или нечетни и четни числа, екстремни случаи и специални числа като 0 и 1.
Достатъчен е един контрапример
Философията на контрапримера е, че ако в един сценарий твърдението не е вярно, тогава твърдението е невярно. Нематематически пример е „Том никога не е казвал лъжа“. За да покажете, че това твърдение е вярно, трябва да предоставите „доказателство“, че Том никога не е лъгал, като проследява всяко изявление, което Том е правил. За да опровергаете това твърдение, трябва да покажете само една лъжа, която Том някога е говорил.
Известни контрапримери
„Всички прости числа са нечетни.“ Въпреки че почти всички прости числа, включително всички прости числа над 3, са нечетни, "2" е просто число, което е четно; това твърдение е невярно; "2" е съответният контрапример.
„Изваждането е комутативно.“ И събирането, и умножението са комутативни - те могат да се извършват в произволен ред. Тоест, за всякакви реални числа a и b, a + b = b + a и a * b = b * a. Изваждането обаче не е комутативно; контрапример, доказващ това е: 3 - 5 не е равно на 5 - 3.
„Всяка непрекъсната функция е диференцируема.“ Абсолютната функция | x | е непрекъснато за всички положителни и отрицателни числа; но не е диференцируем при x = 0; тъй като | x | е непрекъсната функция, този контрапример доказва, че не всяка непрекъсната функция е диференцируема.