Квадратните корени често се срещат в математическите и научните проблеми и всеки ученик трябва да вземе основите на квадратните корени, за да се справи с тези въпроси. Квадратните корени питат „кое число, умножено по себе си, дава следния резултат“ и като такова изчисляване изисква да мислите за числата по малко по-различен начин. Можете обаче лесно да разберете правилата на квадратните корени и да отговорите на всякакви въпроси, които ги включват, независимо дали изискват пряко изчисление или просто опростяване.
TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)
Квадратният корен ви пита кое число, умножено по себе си, дава резултата след символа √. Така че √9 = 3 и √16 = 4. Всеки технически корен има положителен и отрицателен отговор, но в повечето случаи положителният отговор е този, който ще ви интересува.
Можете да разчитате на квадратни корени точно като обикновените числа, така че √аб = √а √били √6 = √2√3.
Какво представлява квадратният корен?
Квадратните корени са обратното на „квадратирането“ на число или умножаването му по себе си. Например три на квадрат е девет (3
2 = 9), така че квадратният корен от девет е три. В символите това е\ sqrt {9} = 3
Символът „√“ ви казва да вземете квадратния корен от число и можете да го намерите на повечето калкулатори.
Не забравяйте, че всяко число всъщност имадвеквадратни корени. Три умножено по три е равно на девет, но отрицателно три умножено по отрицателно три също е равно на девет, така че
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ текст {и} \ sqrt {9} = ± 3
с ± стойността за „плюс или минус“. В много случаи можете да игнорирате отрицателните квадратни корени на числата, но понякога е важно да запомните, че всяко число има два корена.
Може да бъдете помолени да вземете „куб корен“ или „четвърти корен“ на число. Коренът на куба е числото, което, умножено по себе си два пъти, е равно на първоначалното число. Четвъртият корен е числото, което, умножено по себе си три пъти, е равно на първоначалното число. Подобно на квадратните корени, те са точно обратното на приемането на мощността на числата. И така, 33 = 27, а това означава, че коренът на куба от 27 е 3, или
\ sqrt [3] {27} = 3
Символът „∛“ представлява корен на куба от числото, което идва след него. Корените понякога се изразяват и като дробни сили, така че
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {и} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Опростяване на квадратни корени
Една от най-предизвикателните задачи, които може да се наложи да изпълнявате с квадратни корени, е опростяването на големи квадратни корени, но просто трябва да следвате някои прости правила, за да се справите с тези въпроси. Можете да факторизирате квадратни корени по същия начин, както факторизирате обикновените числа. Така например 6 = 2 × 3, така
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Опростяването на по-големи корени означава стъпка по стъпка на факторизацията и запомняне на дефиницията на квадратен корен. Например, 32132 е голям корен и може да е трудно да се види какво да се прави. Можете обаче лесно да видите, че се дели на 2, за да можете да пишете
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
66 обаче също се дели на 2, така че можете да напишете:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
В този случай квадратният корен от число, умножен по друг квадратен корен, просто дава оригиналното число (поради дефиницията на квадратен корен), така че
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Накратко, можете да опростите квадратни корени, като използвате следните правила
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Какъв е квадратният корен на ...
Използвайки дефинициите и правилата по-горе, можете да намерите квадратните корени на повечето числа. Ето няколко примера за разглеждане.
Квадратният корен от 8
Това не може да бъде намерено директно, защото не е корен квадратен от цяло число. Използването на правилата за опростяване обаче дава:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
Квадратният корен от 4
Това използва простия квадратен корен от 4, който е √4 = 2. Проблемът може да бъде решен точно с помощта на калкулатор и √8 = 2.8284 ...
Квадратният корен от 12
Използвайки същия подход, опитайте се да изработите квадратния корен от 12. Разделете корена на фактори и след това вижте дали можете да го разделите отново на фактори. Опитайте това като практически проблем и след това разгледайте решението по-долу:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Отново, този опростен израз може или да се използва при проблеми, ако е необходимо, или да се изчисли точно с помощта на калкулатор. Калкулатор показва това
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
Квадратният корен от 20
Квадратният корен от 20 може да бъде намерен по същия начин:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….
Квадратният корен от 32
И накрая, справете се с квадратния корен от 32, като използвате същия подход:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Тук имайте предвид, че вече сме изчислили квадратния корен от 8 като 2√2 и че √4 = 2, така че:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5.657 ...
Квадратно коренче на отрицателно число
Въпреки че дефиницията на квадратен корен означава, че отрицателните числа не трябва да имат квадратен корен (защото всяко число се умножава само по себе си дава положително число в резултат), математиците ги срещнаха като част от задачите по алгебра и измислиха a решение. „Въображаемото“ числоiсе използва, за да означава „квадратен корен от минус 1“, а всички други отрицателни корени се изразяват като кратни наi. Така
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Тези проблеми са по-предизвикателни, но можете да се научите да ги решавате въз основа на определението заiи стандартните правила за корени.
Примерни въпроси и отговори
Тествайте разбирането си за квадратни корени, като опростите при необходимост и след това изчислите следните корени:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Опитайте се да ги разрешите, преди да разгледате отговорите по-долу:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196