Във всекидневието повечето хора използват терминитескоростискороствзаимозаменяемо, но за физиците те са примери за два много различни вида величини.
Проблемите с механиката се занимават с движението на обекти и макар че можете просто да опишете движението по отношение на скоростта, конкретната посока, в която се движи нещо, често е критично важна.
По същия начин силите, приложени към обекти, могат да идват от много различни посоки - помислете например за противоположните дърпания на въже, например - така физиците, описващи ситуации като тази, трябва да използват величини, които описват както „размера“ на неща като сили, така и посоката, в която те действай. Тези количества се наричатвектори.
TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)
Векторът има както величина, така и определена посока, но скаларна величина има само величина.
Вектори vs. Скалари
Ключовата разлика между вектори и скалари е, че величината на вектора не го описва изцяло; също трябва да има посочена посока.
Посоката на вектор може да бъде посочена по много начини, независимо дали чрез положителни или отрицателни знаци пред него, изразявайки го под формата на компоненти (скаларни стойности до съответния
i, jик„Единичен вектор“, които съответстват на декартовите координати нах, уиz, съответно), добавяйки ъгъл по отношение на посочената посока (например, „60 градуса отх-акси ”) или просто добавяне на някои думи за описване на посоката (напр.„ северозапад “).За разлика от това, скаларът е просто величината на вектора без никакви допълнителни обозначения или информация - например скоростта е скаларен еквивалент на вектора на скоростта. От математическа гледна точка това е абсолютната стойност на вектора.
Въпреки това, много величини, като енергия, налягане, дължина, маса, мощност и температура са примери за скалари, които не са просто величината на съответния вектор. Не е необходимо да знаете „посоката“ на масата, например, за да имате пълна представа за нея като физическо свойство.
Има няколко неинтуитивни факта, които можете да разберете, когато знаете разликата между скалар и вектор, като идеята, че нещо може да има постоянна скорост, но непрекъснато да се променя скорост. Представете си автомобил, който се движи с постоянна скорост от 10 км / ч, но в кръг. Тъй като посоката на вектора е част от неговата дефиниция, векторът на скоростта на автомобила винаги е промяна в този пример, въпреки факта, че величината на вектора (т.е. неговата скорост) е постоянна.
Примери за векторни количества
Има много примери за вектори във физиката, но някои от най-известните примери са сила, импулс, ускорение и скорост, всички от които се отличават силно в класическата физика. Векторът на скоростта може да бъде показан като 25 m / s на изток, −8 km / h ву-посока,v= 5 m / si+ 10 m / sjили 10 m / s в посока 50 градуса отх-ос.
Импулсните вектори са друг пример, който можете да използвате, за да видите как величината и посоката на вектора се показват във физиката. Те работят точно като примери за скорост на вектор, с 50 kg m / s на запад, -12 km / h вzпосока,стр= 12 kg m / si- 10 kg m / sj- 15 kg m / sки 100 kg m / s на 30 градуса отх-осите са примери за това как могат да бъдат показани. Същите основни точки се отнасят до дисплея на векторите за ускорение, като единствената разлика е единицата m / s2 и често използвания символ за вектора,а.
Силата е последният от тези примери за векторни изрази и въпреки че има много прилики, използвайки цилиндрични координати (r, θ, z) вместо декартови координати могат да помогнат да се покажат други начини, по които те могат да бъдат показани. Например, можете да напишете сила катоF= 10 Nr+ 35 N.𝛉, за сила с компоненти в радиалната посока и азимуталната посока, или опишете силата на гравитацията върху 1-килограмов обект на Земята като 10 N в -rпосока (т.е. към центъра на планетата).
Векторна нотация в диаграми
В диаграмите векторите се показват с помощта на стрелки, като величината на вектора е представена от дължината на стрелката и посоката му е представена от посоката, в която стрелката сочи. Например по-голяма стрелка показва, че дадена сила е по-голяма (т.е. повече нютона или по-голяма величина) от друга сила.
За вектор, който показва движение, като импулса или вектора на скоростта,нулев вектор(т.е. вектор, който не представлява скорост или импулс) се показва с помощта на една точка.
Заслужава да се отбележи, че тъй като дължината на стрелката представлява величината на вектора, а ориентацията му представлява посоката на вектора. Полезно е да се опитате да бъдете достатъчно точни, когато правите векторна диаграма. Не е задължително да е перфектно, но ако векторътае два пъти по-голям от вектораб, стрелката трябва да е приблизително два пъти по-дълга.
Събиране и изваждане на вектор
Добавянето на вектор и изваждането на вектори са малко по-сложни от добавянето и изваждането на скаларите, но можете лесно да вземете концепциите. Има два основни подхода, които можете да използвате и всеки има потенциални приложения в зависимост от конкретния проблем, с който се справяте.
Първият и най-лесният за използване, когато са ви дадени два вектора под формата на компоненти, е просто да добавите съвпадащи компоненти по същия начин, по който бихте добавили обикновени скалари. Например, ако трябва да добавите двете силиF1 = 5 Ni+ 10 NjиF2 = 6 Ni+ 15 Nj+ 10 Nк, бихте добавилиiкомпоненти, след товаjкомпоненти и накраяккомпоненти, както следва:
\ начало {подравнено} \ bm {F} _1 + \ bm {F} _2 & = (5 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 10 \; \ text {N} \; \ bold { j}) + (6 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 15 \; \ text {N} \; \ bold {j} + 10 \; \ text {N} \; \ bold { k}) \\ & = (5 \; \ текст {N} + 6 \; \ text {N}) \ bold {i} + (10 \; \ text {N} + 15 \; \ text {N}) \ bold {j} + (0 \; \ text {N} + 10 \; \ text {N}) \ bold {k} \\ & = 11 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 25 \; \ text {N} \; \ bold {j} + 10 \; \ текст {N} \; \ получер {k} \ end {подравнено}
Векторното изваждане работи по абсолютно същия начин, освен че изваждате количествата, вместо да ги добавяте. Добавянето на вектор също е комутативно, както обикновено събиране с реални числа, така чеа + б = б + а.
Можете също така да извършите добавяне на вектор, като използвате диаграми със стрелки, като поставите векторните стрелки глава до опашката и след това изчертаване на нова векторна стрелка за сумата от векторите, свързващи опашката на първата стрелка с главата на второ.
Ако имате просто добавяне на вектор с едно вх-насока и друга ву-посока, диаграмата образува правоъгълен триъгълник. Можете да завършите добавянето на вектор и да определите величината и посоката на получения резултат, като „решите“ триъгълника, използвайки тригонометрия и теорема на Питагор.
Точковият продукт и кръстосаният продукт
Умножението на вектори е малко по-сложно от скалярното умножение за реални числа, но двете основни форми на умножение са точковото и кръстосаното произведение. Точковият продукт се нарича скаларен продукт и се определя като:
\ bm {u} \; ∙ \; \ bm {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
или
\ bm {u} \; ∙ \; \ bm {v} = \ lvert \ bm {u} \ rvert \ lvert \ bm {v} \ rvert \ text {cos} (θ)
къдетоθе ъгълът между двата вектора, а индексите 1, 2 и 3 представляват първия, втория и третия компонент на вектора. Резултатът от точковото произведение е скаларен.
Кръстосаният продукт се дефинира като:
\ bm {a} \; \ bold {×} \; \ bm {b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
със запетаи, разделящи компонентите на резултата в различни посоки.