ما الذي يجعل العلاقة وظيفة؟

تعتبر الوظائف الرياضية أدوات قوية للأعمال والهندسة والعلوم لأنها يمكن أن تكون بمثابة نماذج مصغرة لظواهر العالم الحقيقي. لفهم الوظائف والعلاقات ، تحتاج إلى التعمق قليلاً في مفاهيم مثل المجموعات والأزواج المرتبة والعلاقات. الوظيفة هي نوع خاص من العلاقات لها علاقة واحدة فقطذقيمة معينةxالقيمة. توجد أنواع أخرى من العلاقات تبدو وكأنها دوال ولكنها لا تتوافق مع التعريف الصارم لأحدها.

TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)

العلاقة هي مجموعة من الأرقام منظمة في أزواج. الوظيفة هي نوع خاص من العلاقات لها علاقة واحدة فقطذقيمة معينةxالقيمة.

لوصف العلاقات والوظائف ، من المفيد أولاً مناقشة المجموعات والأزواج المرتبة. باختصار ، مجموعة الأرقام هي مجموعة منها ، وعادةً ما يتم تضمينها داخل أقواس معقوفة ، مثل {15،1 ، 2/3} أو {0 ، .22}. عادةً ما تحدد مجموعة بقاعدة ، مثل جميع الأرقام الزوجية بين 2 و 10 ، بما في ذلك: {2،4،6،8،10}.

يمكن أن تحتوي المجموعة على أي عدد من العناصر ، أو لا شيء على الإطلاق ، أي المجموعة الخالية {}. الزوج المرتب عبارة عن مجموعة من رقمين محاطين بأقواس ، مثل (0،1) و (45 ، −2). للراحة ، يمكنك استدعاء القيمة الأولى في الزوج المرتب بـ

الوظيفة هي العلاقة التي فيها أي معطىxالقيمة لها مقابلة واحدة فقطذالقيمة. قد تعتقد أنه مع الأزواج المرتبة ، كل منهاxلديه واحد فقطذقيمة على أي حال. ومع ذلك ، في مثال العلاقة المذكورة أعلاه ، لاحظ أنxالقيمتان 1 و 2 لكل منهما نوعان متطابقانذالقيم 0 و 5 و 10 و 15 على التوالي. هذه العلاقة ليست وظيفة. تعطي القاعدة علاقة الوظيفة تحديدًا لا وجود لها بخلاف ذلك ، من حيثxالقيم. يمكنك أن تسأل متىxهو 1 ، ما هوذالقيمة؟ بالنسبة للعلاقة المذكورة أعلاه ، فإن السؤال ليس له إجابة محددة ؛ يمكن أن يكون 0 أو 5 أو كليهما.

الآن افحص مثالًا لعلاقة تمثل دالة حقيقية: {(0،1) ، (1،5) ، (2 ، 4) ، (3 ، 6)}. الxالقيم لا تتكرر في أي مكان. كمثال آخر ، انظر إلى {(−1،0)، (0،5)، (1،5)، (2،10)، (3،10)}. بعضذالقيم مكررة ، لكن هذا لا ينتهك القاعدة. لا يزال بإمكانك القول أنه عندما تكون قيمةxهو 0 ،ذهو بالتأكيد 5.

يمكنك معرفة ما إذا كانت العلاقة دالة عن طريق رسم الأرقام على الرسم البياني وتطبيق اختبار الخط العمودي. إذا لم يتقاطع أي خط رأسي يمر عبر الرسم البياني عند أكثر من نقطة واحدة ، فإن العلاقة تكون دالة.

كتابة مجموعة من الأزواج المرتبة كدالة تجعل مثالاً سهلاً ، ولكن سرعان ما يصبح مملاً عندما يكون لديك أكثر من عدد قليل من الأرقام. لمعالجة هذه المشكلة ، يكتب علماء الرياضيات وظائف من حيث المعادلات ، مثل

باستخدام هذه المعادلة المدمجة ، يمكنك إنشاء أي عدد تريده من الأزواج المرتبة: أدخل قيمًا مختلفة لـx، احسب ، واخرجذالقيم.

تعمل العديد من الوظائف كنماذج رياضية ، مما يسمح للناس بفهم تفاصيل الظواهر التي كانت ستظل غامضة لولا ذلك. لنأخذ مثالاً بسيطًا ، معادلة المسافة لجسم ساقط هي

أينرهو الوقت بالثواني ، وزهي عجلة الجاذبية. عوض عن 9.8 لجاذبية الأرض بالأمتار لكل ثانية مربعة ، ويمكنك إيجاد المسافة التي أسقطها جسم في أي قيمة زمنية. لاحظ أنه على الرغم من فائدتها ، فإن النماذج لها حدود. تعمل المعادلة النموذجية بشكل جيد لإسقاط كرة فولاذية ولكن ليس ريشة لأن الهواء يبطئ الريشة.