سلسلة تايلور هي طريقة عددية لتمثيل وظيفة معينة. هذه الطريقة لها تطبيقات في العديد من المجالات الهندسية. في بعض الحالات ، مثل نقل الحرارة ، ينتج عن التحليل التفاضلي معادلة تناسب شكل سلسلة تايلور. يمكن أن تمثل سلسلة Taylor أيضًا جزءًا لا يتجزأ إذا لم يكن تكامل هذه الوظيفة موجودًا بشكل تحليلي. هذه التمثيلات ليست قيمًا دقيقة ، لكن حساب المزيد من المصطلحات في السلسلة سيجعل التقدير التقريبي أكثر دقة.
اختر مركزًا لسلسلة تايلور. هذا الرقم عشوائي ، لكن من الجيد اختيار مركز يوجد به تناظر في الوظيفة أو حيث تبسط قيمة المركز الرياضيات الخاصة بالمسألة. إذا كنت تحسب تمثيل سلسلة تايلور لـ f (x) = sin (x) ، فإن المركز الجيد الذي يجب استخدامه هو a = 0.
حدد عدد المصطلحات التي تريد حسابها. كلما زادت المصطلحات التي تستخدمها ، كان تمثيلك أكثر دقة ، ولكن نظرًا لأن سلسلة Taylor هي سلسلة لا نهائية ، فمن المستحيل تضمين جميع المصطلحات الممكنة. سيستخدم مثال sin (x) ستة مصطلحات.
احسب المشتقات التي ستحتاجها للسلسلة. في هذا المثال ، يجب أن تحسب جميع المشتقات حتى المشتق السادس. نظرًا لأن سلسلة Taylor تبدأ عند "n = 0" ، يجب عليك تضمين المشتق "0" ، وهي الوظيفة الأصلية فقط. المشتق 0 = sin (x) الأول = cos (x) الثاني = -sin (x) الثالث = -cos (x) 4th = sin (x) 5th = cos (x) 6th = -sin (x)
احسب قيمة كل مشتق في المركز الذي اخترته. ستكون هذه القيم هي البسط للمصطلحات الستة الأولى من سلسلة تايلور. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
استخدم الحسابات المشتقة والمركز لتحديد شروط سلسلة تايلور. الفصل الأول ن = 0 ؛ (0/0!) (x - 0) ^ 0 = 0/1 الفصل الثاني ؛ ن = 1 ؛ (1/1!) (س - 0) ^ 1 = س / 1! الفصل الثالث ن = 2 ؛ (0/2!) (س - 0) ^ 2 = 0/2! 4 مصطلح ن = 3 ؛ (-1/3!) (س - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! الفترة الخامسة ن = 4 ؛ (0/4!) (س - 0) ^ 4 = 0/4! مصطلح 6 ن = 5 ؛ (1/5!) (س - 0) ^ 5 = س ^ 5/5! سلسلة تايلور للخطيئة (س): الخطيئة (س) = 0 + س / 1! + 0 - (س ^ 3) / 3! + 0 + (س ^ 5) / 5! + ...
أسقط الحدود الصفرية في المتسلسلة وقم بتبسيط التعبير جبريًا لتحديد التمثيل المبسط للدالة. ستكون هذه سلسلة مختلفة تمامًا ، لذا فإن قيم "n" المستخدمة سابقًا لم تعد تنطبق. الخطيئة (س) = 0 + س / 1! + 0 - (س ^ 3) / 3! + 0 + (س ^ 5) / 5! +... الخطيئة (س) = س / 1! - (× ^ 3) / 3! + (× ^ 5) / 5! -... نظرًا لأن العلامات تتناوب بين الموجب والسالب ، يجب أن يكون المكون الأول للمعادلة المبسطة (-1) ^ n ، حيث لا توجد أرقام زوجية في السلسلة. ينتج عن المصطلح (-1) ^ n إشارة سالبة عندما تكون n فردية وعلامة موجبة عندما تكون n زوجية. التمثيل المتسلسل للأرقام الفردية هو (2n + 1). عندما يكون n = 0 ، فإن هذا المصطلح يساوي 1 ؛ عندما n = 1 ، هذا المصطلح يساوي 3 وهكذا إلى ما لا نهاية. في هذا المثال ، استخدم هذا التمثيل لأسس x والمضروب في المقام
استخدم تمثيل الوظيفة بدلاً من الوظيفة الأصلية. بالنسبة إلى المعادلات الأكثر تقدمًا والأكثر صعوبة ، قد تجعل سلسلة Taylor معادلة غير قابلة للحل قابلة للحل ، أو على الأقل تعطي حلاً رقميًا معقولاً.