في تسلسل هندسي ، كل حد يساوي الحد السابق مضروبًا في مضاعف ثابت غير صفري يسمى العامل المشترك. يمكن أن يكون للتتابعات الهندسية عدد ثابت من المصطلحات ، أو يمكن أن تكون غير محدودة. في كلتا الحالتين ، يمكن أن تصبح مصطلحات التسلسل الهندسي كبيرة جدًا أو سلبية جدًا أو قريبة جدًا من الصفر. بالمقارنة مع المتواليات الحسابية ، تتغير المصطلحات بسرعة أكبر ، ولكن أثناء الحساب اللانهائي تزداد التسلسلات أو تنقص بشكل مطرد ، ويمكن أن تقترب التسلسلات الهندسية من الصفر ، اعتمادًا على المشترك عامل.
TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)
المتتالية الهندسية هي قائمة مرتبة من الأرقام يكون فيها كل حد هو نتاج الحد السابق ومضاعف ثابت غير صفري يسمى العامل المشترك. كل حد في المتوالية الهندسية هو المتوسط الهندسي للمصطلحات التي تسبقها وتليها. المتواليات الهندسية اللانهائية ذات العامل المشترك بين +1 و -1 تقترب من حد الصفر كمصطلحات تتم إضافة المتواليات التي لها عامل مشترك أكبر من +1 أو أصغر من -1 تنتقل إلى موجب أو ناقص ما لا نهاية.
كيف تعمل المتتاليات الهندسية
يتم تحديد التسلسل الهندسي برقم بدايتهأ، العامل المشتركصوعدد المصطلحاتس. الشكل العام المقابل للتسلسل الهندسي هو:
أ ، ع ، ع ^ 2 ، ع ^ 3 ،... ، ar ^ {S-1}
الصيغة العامة للمصطلحنمن التسلسل الهندسي (أي أي مصطلح ضمن هذا التسلسل) هو:
a_n = ar ^ {n-1}
الصيغة العودية ، التي تحدد المصطلح فيما يتعلق بالمصطلح السابق ، هي:
a_n = ra_ {n-1}
مثال على متتالية هندسية برقم البداية 3 ، العامل المشترك 2 وثمانية حدود هو 3 ، 6 ، 12 ، 24 ، 48 ، 96 ، 192 ، 384. حساب المصطلح الأخير باستخدام النموذج العام المذكور أعلاه ، المصطلح هو:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
باستخدام الصيغة العامة للمصطلح 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
إذا كنت تريد استخدام الصيغة العودية للمصطلح 5 ، فإن المصطلح 4 = 24 ، و a5 يساوي:
a_5 = 2 × 24 = 48
خصائص التسلسل الهندسي
التسلسلات الهندسية لها خصائص خاصة فيما يتعلق بالمتوسط الهندسي. المتوسط الهندسي لرقمين هو الجذر التربيعي لحاصل ضربهما. على سبيل المثال ، المتوسط الهندسي للعددين 5 و 20 هو 10 لأن المنتج 5 × 20 = 100 والجذر التربيعي لـ 100 هو 10.
في المتتاليات الهندسية ، كل حد هو المتوسط الهندسي للمصطلح قبله والمصطلح الذي يليه. على سبيل المثال ، في التسلسل 3 ، 6 ، 12... أعلاه ، 6 هو المتوسط الهندسي لـ 3 و 12 ، 12 هو المتوسط الهندسي لـ 6 و 24 ، و 24 هو المتوسط الهندسي لـ 12 و 48.
تعتمد الخصائص الأخرى للتسلسلات الهندسية على العامل المشترك. إذا كان العامل المشتركصأكبر من 1 ، سوف تقترب التسلسلات الهندسية اللانهائية من اللانهاية الموجبة. إذاصبين 0 و 1 ، سوف تقترب التسلسلات من الصفر. إذاصبين صفر و -1 ، سوف تقترب المتتاليات من الصفر ، لكن المصطلحات ستتبدل بين القيم الموجبة والسالبة. إذاصأقل من -1 ، ستتجه المصطلحات نحو كل من اللانهاية الموجبة والسالبة حيث تتناوب بين القيم الموجبة والسالبة.
المتتاليات الهندسية وخصائصها مفيدة بشكل خاص في النماذج العلمية والرياضية لعمليات العالم الحقيقي. يمكن أن يساعد استخدام تسلسلات محددة في دراسة المجموعات السكانية التي تنمو بمعدل ثابت خلال فترات زمنية معينة أو استثمارات تكتسب فائدة. تتيح الصيغ العامة والمتكررة التنبؤ بالقيم الدقيقة في المستقبل بناءً على نقطة البداية والعامل المشترك.
