الجذر التربيعي للرقم هو القيمة التي ، عند ضربها في نفسها ، تعطي الرقم الأصلي. على سبيل المثال ، الجذر التربيعي لـ 0 هو 0 ، والجذر التربيعي لـ 100 هو 10 والجذر التربيعي لـ 50 هو 7.071. في بعض الأحيان ، يمكنك اكتشاف الجذر التربيعي لرقم ما ، أو تذكره ببساطة ، والذي هو في حد ذاته "مربع كامل" ، وهو حاصل ضرب عدد صحيح مضروب في نفسه ؛ كلما تقدمت في دراستك ، من المحتمل أن تطور قائمة ذهنية بهذه الأرقام (1 ، 4 ، 9 ، 25 ، 36.. .).
لا غنى عن المشاكل التي تنطوي على الجذور التربيعية في الهندسة وحساب التفاضل والتكامل وفي كل عالم تقريبًا من العالم الحديث. على الرغم من أنه يمكنك بسهولة تحديد موقع حاسبات معادلات الجذر التربيعي عبر الإنترنت (انظر الموارد للحصول على مثال) ، فإن حل معادلات الجذر التربيعي يعد أمرًا مهمًا مهارة في الجبر ، لأنها تتيح لك التعرف على استخدام الجذور والعمل مع عدد من أنواع المشكلات خارج مجال الجذور التربيعية في حد ذاته.
المربعات والجذور التربيعية: الخصائص الأساسية
حقيقة أن ضرب رقمين سالبين معًا ينتج عنه رقم موجب أمر مهم في عالم الجذور التربيعية لأنه يعني ضمنيًا أن الأعداد الموجبة لها جذور تربيعية (على سبيل المثال ، الجذور التربيعية لـ 16 هي 4 و 4 ، حتى لو كان الأول فقط بديهيًا). وبالمثل ، فإن الأعداد السالبة ليس لها جذور تربيعية حقيقية ، لأنه لا يوجد رقم حقيقي يأخذ قيمة سالبة عند ضربه في نفسه. في هذا العرض التقديمي ، سيتم تجاهل الجذر التربيعي السالب لعدد موجب ، بحيث يمكن اعتبار "الجذر التربيعي لـ 361" كـ "19" بدلاً من "19 و 19."
أيضًا ، عند محاولة تقدير قيمة الجذر التربيعي عندما لا تكون الآلة الحاسبة في متناول اليد ، من المهم إدراك أن الوظائف التي تتضمن المربعات والجذور التربيعية ليست خطية. سترى المزيد عن هذا في القسم الخاص بالرسوم البيانية لاحقًا ، ولكن كمثال تقريبي ، لاحظت بالفعل أن الجذر التربيعي لـ 100 يساوي 10 والجذر التربيعي للصفر يساوي 0. عند النظر ، قد يقودك هذا إلى تخمين أن الجذر التربيعي لـ 50 (الذي يقع في منتصف المسافة بين 0 و 100) يجب أن يكون 5 (وهو في المنتصف بين 0 و 10). لكنك تعلمت بالفعل أن الجذر التربيعي لـ 50 يساوي 7.071.
أخيرًا ، ربما تكون قد استوعبت فكرة أن ضرب رقمين معًا ينتج عنه رقم أكبر من نفسه ، مما يعني أن الجذور التربيعية للأرقام دائمًا ما تكون أصغر من الأصل عدد. ليست هذه هي القضية! الأعداد الواقعة بين 0 و 1 لها جذور تربيعية أيضًا ، وفي كل حالة يكون الجذر التربيعي أكبر من الرقم الأصلي. يتم عرض هذا بسهولة باستخدام الكسور. على سبيل المثال ، 16/25 ، أو 0.64 ، لها مربع كامل في كل من البسط والمقام. هذا يعني أن الجذر التربيعي للكسر هو الجذر التربيعي لمركبتيه العلوية والسفلية ، أي 4/5. هذا يساوي 0.80 ، وهو رقم أكبر من 0.64.
مصطلحات الجذر التربيعي
"الجذر التربيعي لـx"عادة ما يكتب باستخدام ما يسمى بعلامة جذرية ، أو مجرد علامة جذرية (√). هكذا لأيx:
\ sqrt {x}
يمثل جذره التربيعي. قلب هذا حول مربع الرقمxمكتوب باستخدام الأس 2 (x2). يأخذ الدعاة نصًا مرتفعًا في معالجة الكلمات والتطبيقات ذات الصلة ، ويطلق عليهم أيضًا الصلاحيات. نظرًا لأنه ليس من السهل دائمًا إنتاج العلامات الجذرية عند الطلب ، فهناك طريقة أخرى لكتابة "الجذر التربيعي لـx"هو استخدام الأس:
× ^ {1/2}
هذا بدوره جزء من مخطط عام:
س ^ {(ص / ع)}
يعني "رفعxلقوةذ، ثم خذ "ض"جذرها".x1/2 وبالتالي يعني "رفعxللقوة الأولى ، وهي ببساطةxمرة أخرى ، ثم خذ جذرها الثاني ، أو الجذر التربيعي. "بتوسيع هذا ،x(5/3) يعني "رفعxأس 5 ، ثم ابحث عن الجذر الثالث (أو الجذر التكعيبي) للنتيجة ".
يمكن استخدام الجذور لتمثيل الجذور بخلاف الجذر التربيعي 2. يتم ذلك ببساطة عن طريق إلحاق نص مرتفع إلى أعلى يسار الجذر.
\ sqrt [3] {x ^ 5}
ثم ، يمثل نفس عددx(5/3) من الفقرة السابقة.
معظم الجذور التربيعية أعداد غير منطقية. هذا يعني أنها ليست أعدادًا صحيحة وأنيقة فقط (على سبيل المثال ، 1 ، 2 ، 3 ، 4.. .) ، ولكن لا يمكن أيضًا التعبير عنها كرقم عشري أنيق ينتهي دون الحاجة إلى تقريبها. يمكن التعبير عن العدد المنطقي في صورة كسر. لذا على الرغم من أن 2.75 ليس عددًا صحيحًا ، إلا أنه رقم نسبي لأنه يماثل الكسر 11/4. قيل لك سابقًا أن الجذر التربيعي للرقم 50 يساوي 7.071 ، ولكن هذا تقريب بالفعل من عدد لا نهائي من المنازل العشرية. القيمة الدقيقة لـ √50 هي 5√2 ، وسترى كيف يتم تحديد ذلك قريبًا.
الرسوم البيانية لوظائف الجذر التربيعي
لقد رأيت بالفعل أن المعادلات في تضمين المربعات والجذور التربيعية غير خطية. إحدى الطرق السهلة لتذكر ذلك هي أن الرسوم البيانية لحلول هذه المعادلات ليست خطوطًا. هذا منطقي ، لأنه ، كما لوحظ ، إذا كان مربع 0 يساوي 0 ومربع 10 يساوي 100 ولكن المربع من 5 ليس 50 ، فإن الرسم البياني الناتج عن تربيع رقم ببساطة يجب أن ينحني في طريقه إلى الصحيح القيم.
هذا هو الحال مع الرسم البياني
ص = س ^ 2
كما ترى بنفسك من خلال زيارة الآلة الحاسبة في الموارد وتغيير المعلمات. يمر الخط بالنقطة (0،0) ، ولا تقل y عن 0 ، وهو ما يجب أن تتوقعه لأنك تعلم ذلكx2 ليس سلبيا ابدا. يمكنك أيضًا أن ترى أن الرسم البياني متماثل حولذ-المحور ، وهو أمر منطقي أيضًا لأن كل جذر تربيعي موجب لرقم معين يكون مصحوبًا بجذر تربيعي سالب متساوٍ في الحجم. لذلك ، باستثناء 0 ، كلذالقيمة على الرسم البيانيذ = x2 يرتبط مع اثنينx-القيم.
مشاكل الجذر التربيعي
تتمثل إحدى طرق معالجة مسائل الجذر التربيعي الأساسية يدويًا في البحث عن مربعات كاملة "مخفية" داخل المشكلة. أولاً ، من المهم أن تكون على دراية ببعض الخصائص الحيوية للمربعات والجذور التربيعية. واحد من هؤلاء ، تمامًا مثل √x2 ببساطة يساويx(لأن الجذر والأس يُلغيان بعضهما البعض):
\ sqrt {x ^ 2y} = x \ sqrt {y}
أي ، إذا كان لديك مربع كامل تحت ضرب جذري لرقم آخر ، فيمكنك "سحبه" واستخدامه كمعامل لما تبقى. على سبيل المثال ، العودة إلى الجذر التربيعي للرقم 50
\ sqrt {50} = \ sqrt {(25) (2)} = 5 \ sqrt {2}
في بعض الأحيان ، يمكنك أن تنتهي برقم يتضمن جذورًا تربيعية يتم التعبير عنه في صورة كسر ، لكنه يظل عددًا غير نسبي لأن المقام أو البسط أو كليهما يحتويان على جذري. في مثل هذه الحالات ، قد يُطلب منك تبرير المقام. على سبيل المثال ، الرقم
\ فارك {6 \ sqrt {5}} {\ sqrt {45}}
له جذري في كل من البسط والمقام. ولكن بعد التدقيق في الرقم "45" ، قد تتعرف عليه باعتباره حاصل ضرب 9 و 5 ، مما يعني ذلك
\ sqrt {45} = \ sqrt {(9) (5)} = 3 \ sqrt {5}
لذلك ، يمكن كتابة الكسر
\ فارك {6 \ sqrt {5}} {3 \ sqrt {5}}
تلغي الجذور بعضها البعض ، ويتبقى لك 6/3 = 2.