بمجرد أن تبدأ في حل المعادلات الجبرية التي تتضمن كثيرات الحدود ، تصبح القدرة على التعرف على الأشكال الخاصة سهلة التحليل من كثيرات الحدود مفيدة جدًا. أحد أكثر كثيرات الحدود "سهل العوامل" مفيدًا لتحديده هو المربع الكامل ، أو ثلاثي الحدود الذي ينتج عن تربيع ذات الحدين. بمجرد تحديد المربع الكامل ، فإن تضمينه في مكوناته الفردية غالبًا ما يكون جزءًا حيويًا من عملية حل المشكلات.
قبل أن تتمكن من تحليل ثلاثي الحدود المربع الكامل ، عليك أن تتعلم كيفية التعرف عليه. يمكن أن يتخذ المربع الكامل أيًا من شكلين
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {، وهو حاصل ضرب} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ text {، وهو حاصل ضرب} (أ - ب) (أ - ب) = (أ - ب) ^ 2
تحقق من الحد الأول والثالث من الحدود الثلاثية. هل كلاهما مربعا؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، اكتشف ما هي مربعات. على سبيل المثال ، في مثال "العالم الحقيقي" الثاني المذكور أعلاه:
ص ^ 2 - 2 ص + 1
على المدىذ2 من الواضح أن مربعذ.المصطلح 1 ، ربما أقل وضوحًا ، هو مربع 1 ، لأن 12 = 1.
اضرب جذور الحدين الأول والثالث معًا. لمواصلة المثال ، هذاذو 1 الذي يمنحكذ × 1 = 1ذأو ببساطةذ.
بعد ذلك ، اضرب منتجك في 2. متابعة المثال ، لديك 2ذ.
أخيرًا ، قارن نتيجة الخطوة الأخيرة مع الحد الأوسط لكثير الحدود. هل يتطابقون؟ في كثير الحدودذ2 – 2ذ+ 1 ، يفعلون. (العلامة غير ذات صلة ؛ سيكون أيضًا متطابقًا إذا كان الحد الأوسط +2ذ.)
نظرًا لأن الإجابة في الخطوة 1 كانت "نعم" والنتيجة التي حصلت عليها من الخطوة 2 تتطابق مع الحد الأوسط من كثير الحدود ، فأنت تعلم أنك تنظر إلى ثلاثي حدود مربع كامل.
بمجرد أن تعرف أنك تنظر إلى ثلاثية الحدود التربيعية الكاملة ، فإن عملية تحليلها تكون واضحة تمامًا.
حدد الجذور ، أو الأعداد التي يتم تربيعها ، في الحدين الأول والثالث من ثلاثي الحدود. ضع في اعتبارك مثالًا آخر من المثلثات التي تعرفها بالفعل هو مربع كامل:
س ^ 2 + 8 س + 16
من الواضح أن العدد الذي يتم تربيعه في الحد الأول هوx. العدد الذي يتم تربيعه في الحد الثالث هو 4 ، لأن 42 = 16.
فكر مرة أخرى في الصيغ للحصول على قيم ثلاثية الحدود مربعة كاملة. أنت تعلم أن العوامل الخاصة بك ستأخذ إما النموذج (أ + ب)(أ + ب) أو النموذج (أ – ب)(أ – ب)، أينأوبهي الأعداد التي يتم تربيعها في الحدين الأول والثالث. لذلك يمكنك كتابة العوامل الخاصة بك بهذه الطريقة ، مع حذف العلامات الموجودة في منتصف كل مصطلح في الوقت الحالي:
(أ \،؟ \ ، ب) (أ \ ،؟ \، b) = a ^ 2 \،؟ \، 2ab + b ^ 2
لمواصلة المثال عن طريق استبدال جذور ثلاثي الحدود الحالي الخاص بك ، لديك:
(x \،؟ \، 4) (x \،؟ \، 4) = x ^ 2 + 8x + 16
تحقق من الحد الأوسط من ثلاثي الحدود. هل لها إشارة موجبة أم سلبية (أو بعبارة أخرى ، هل يتم إضافتها أو طرحها)؟ إذا كانت تحتوي على علامة موجبة (أو يتم إضافتها) ، فإن كلا العاملين من ثلاثي الحدود لهما علامة زائد في المنتصف. إذا كانت تحتوي على علامة سالبة (أو يتم طرحها) ، فإن كلا العاملين لهما علامة سالبة في المنتصف.
الحد الأوسط للمثال الحالي ثلاثي الحدود هو 8x- إنها موجبة - لذا فقد قمت الآن بحللة ثلاثي الحدود المربع الكامل:
(س + 4) (س + 4) = س ^ 2 + 8 س + 16
تحقق من عملك بضرب العاملين معًا. يمنحك تطبيق FOIL أو الطريقة الأولى ، الخارجية ، الداخلية ، الأخيرة:
س ^ 2 + 4x + 4x + 16
تبسيط هذا يعطي النتيجةx2 + 8x+ 16 ، الذي يطابق ثلاثي الحدود الخاص بك. لذا فإن العوامل صحيحة.
