مخطط التبعثر هو رسم بياني يوضح العلاقة بين مجموعتين من البيانات. في بعض الأحيان يكون من المفيد استخدام البيانات الموجودة في مخطط التبعثر للحصول على علاقة رياضية بين متغيرين. يمكن الحصول على معادلة مخطط التبعثر يدويًا ، باستخدام إحدى طريقتين رئيسيتين: تقنية رسومية أو تقنية تسمى الانحدار الخطي.
إنشاء مخطط مبعثر
استخدم ورق الرسم البياني لإنشاء مخطط مبعثر. ارسم ال x- و ذ- المحاور والتأكد من تقاطعها وتسمية الأصل. تأكد من أن x- و ذ- تحتوي المحاور أيضًا على عناوين صحيحة. بعد ذلك ، ارسم كل نقطة بيانات داخل الرسم البياني. يجب أن تكون أي اتجاهات بين مجموعات البيانات المرسومة واضحة الآن.
خط أفضل ملاءمة
بمجرد إنشاء مخطط التبعثر ، بافتراض وجود ارتباط خطي بين مجموعتي بيانات ، يمكننا استخدام طريقة رسومية للحصول على المعادلة. خذ مسطرة وارسم خطًا في أقرب وقت ممكن من جميع النقاط. حاول التأكد من وجود العديد من النقاط فوق الخط كما هو الحال أسفل الخط. بمجرد رسم الخط ، استخدم الطرق القياسية لإيجاد معادلة الخط المستقيم
معادلة الخط المستقيم
بمجرد وضع خط أفضل ملاءمة على الرسم البياني المبعثر ، من السهل العثور على المعادلة. المعادلة العامة للخط المستقيم هي:
ص = م س + ج
أين م هو المنحدر (التدرج) للخط و ج هل ذ-تقاطع. للحصول على التدرج اللوني ، أوجد نقطتين على الخط. من أجل هذا المثال ، لنفترض أن النقطتين هما (1،3) و (0،1). يمكن حساب التدرج اللوني بأخذ الفرق في إحداثيات y والقسمة على الفرق في x-الإحداثيات:
م = \ فارك {3 - 1} {1 - 0} = \ فارك {2} {1} = 2
التدرج في هذه الحالة يساوي 2. حتى الآن ، فإن معادلة الخط المستقيم هي
ص = 2 س + ج
قيمة ج يمكن الحصول عليها عن طريق استبدال القيم لنقطة معروفة. باتباع المثال ، إحدى النقاط المعروفة هي (1،3). أدخل هذا في المعادلة وأعد ترتيبها ج:
3 = (2 × 1) + ج \\ ج = 3-2 = 1
المعادلة النهائية في هذه الحالة هي:
ص = 2 س + 1
الانحدارالخطي
الانحدار الخطي هو طريقة رياضية يمكن استخدامها للحصول على معادلة الخط المستقيم لمخطط التبعثر. ابدأ بوضع بياناتك في جدول. في هذا المثال ، لنفترض أن لدينا البيانات التالية:
(4.1, 2.2) (6.5, 4.5) (12.6, 10.4)
احسب مجموع قيم x:
x_ {sum} = 4.1 + 6.5 + 12.6 = 23.2
بعد ذلك ، احسب مجموع قيم y:
y_ {sum} = 2.2 + 4.4 + 10.4 = 17
الآن قم بجمع منتجات كل مجموعة نقاط بيانات:
xy_ {sum} = (4.1 × 2.2) + (6.5 × 4.4) + (12.6 × 10.4) = 168.66
بعد ذلك ، احسب مجموع قيم x تربيع وقيم y تربيع:
x ^ 2_ {sum} = (4.1 ^ 2) + (6.5 ^ 2) + (12.6 ^ 2) = 217.82
ص ^ 2_ {sum} = (2.2 ^ 2) + (4.5 ^ 2) + (10.4 ^ 2) = 133.25
أخيرًا ، احسب عدد نقاط البيانات التي لديك. في هذه الحالة لدينا ثلاث نقاط بيانات (N = 3). يمكن الحصول على التدرج اللوني لأفضل خط ملائم من:
m = \ frac {(N × xy_ {sum}) - (x_ {sum} × y_ {sum})} {(N × x ^ 2_ {sum}) - (x_ {sum} × x_ {sum})} \\ \ ، \\ = \ frac {(3 × 168.66) - (23.2 × 17)} {(3 × 217.82) - (23.2 × 23.2)} \\ \ ، \\ = 0.968
يمكن الحصول على اعتراض أفضل خط ملائم من:
\ start {align} c & = \ frac {(x ^ 2_ {sum} × y_ {sum}) - (x_ {sum} × xy_ {sum})} {(N × x ^ 2_ {sum}) - ( x_ {sum} × x_ {sum})} \\ \، \\ & = \ frac {(217.82 × 17) - (23.2 × 168.66)} {(3 × 217.82) - (23.2 × 23.2)} \\ \، \\ & = -1.82 \ نهاية {محاذاة}
لذلك فإن المعادلة النهائية هي:
ص = 0.968 س - 1.82