مفهومالقيم الذاتيةغامضة ولكنها مفيدة جدًا لعلماء الرياضيات وعلماء الفيزياء الذين يواجهون بعض المشكلات المثيرة للاهتمام.
لفهم قيمة eigenvalue ، تخيل وجود وظيفة (على سبيل المثال ،ذ = x2 + 6x، أوذ= سجل 4x) أنه يمكنك تنفيذ بعض العمليات بحيث تكون النتيجة مماثلة لضرب الدالة بأكملها في قيمة ثابتة. مثل هذه الوظيفة يمكن أن تكون مؤهلة لتكونالوظيفة الذاتية، وسيكون الثابت قيمة ذاتية.
- كلمة "Eigen" هي كلمة ألمانية تعني "نفس".
لفهم قيم eigenvalues و eigenfunctions بشكل أفضل ، ولتكون قادرًا على حساب قيم eigenvalues بنفسك ، فأنت بحاجة إلى فهم أساسي للمصفوفات. تُستخدم هذه الحيل الرياضية لتحديد ترتيب السندات NO2 (ثاني أكسيد النيتروجين) والجزيئات الأخرى ، لأن سلوك الإلكترون في الذرات يتم تحديده من خلال الدوال الموجية التي تعتبر وظائف ذاتية.
ما هي المصفوفة؟
المصفوفة هي مصفوفة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة ، والتي قد ترقى من 1 إلىن. يتم إعطاء أبعاد المصفوفات في شكل صف بعمود ؛ على سبيل المثال ، ما يلي هو مصفوفة 2 × 3:
\ ابدأ {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
يمكن إضافة المصفوفات معًا إذا كانت بنفس الحجم (أي لها نفس عدد الصفوف ونفس عدد الأعمدة). يمكن أيضًا ضربها معًا من خلال عملية متدرجة تحت نفس الظروف. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن ضرب أي مصفوفة في متجه ، وهو 1-by-
نأون-by-1 مصفوفة ؛ وهذا يشمل نواقل أخرى.ما هي معادلة القيمة الذاتية؟
لنفترض أن لديك ملفن-بواسطة-نأو مصفوفة "مربعة"أ، غير صفرين-بي -1 ناقلالخامسو عدديλ، بحيث يتم استيفاء المعادلة التالية:
\ غامق {Av} = λ \ bold {v}
أي قيمةλالتي لها حل هذه المعادلة تُعرف باسم القيمة الذاتية للمصفوفةأ.
لا تدع عقلك يتعامل مع التعبيرات المذكورة أعلاه على أنها منتج.أهوالمشغل أو العاملعلى ، أو تحويل خطي ، للمتجهالخامس، هذا الحساب ممكن فقط لأنأوالخامسكلاهما يملكاننصفوف.
لماذا نستخدم وظائف Eigenvalue؟
الاشتقاق معقد ، ولكن في الكيمياء الذرية ، يتم استخدام عامل التشغيل الهاميلتوني "H-bar" للتعبير عن الطاقة الحركية والمحتملة للنظام:
\ hat H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ hat V (x، y، z)
يستخدم هذا لكتابة شكل من أشكالمعادلة شرودنجر الموجيةفي ميكانيكا الكم:
\ قبعة Hψ (س ، ص ، ض) = Eψ (س ، ص ، ض)
هناهيمثل قيم eigenvalues التي ترضي هذه المعادلة.
طرق لإيجاد القيم الذاتية لمصفوفة
من المعادلة Av = λv تحصل علىأ الخامس − λالخامس=0. هذا يؤدي إلى:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
أينأناهي مصفوفة الهوية 2 × 2 مع صفوف [λ0] و [0λ] ، مما يؤدي إلى 1 عند ضرب العدد في العددλ. ينتج عن هذه النتيجة:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
الذي إذاالخامسغير صفري ، له حل فقط إذا كانت القيمة المطلقةأ− λأناأو |أ − λأنا| ، هو صفر. إذا قمت بذلك يدويًا ، فهذا ينطوي على حل معادلة تربيعية ويمكن أن يكون مملاً.
لضرب مصفوفتين معًا ، يجب ضرب النقاط المتناظرة معًا لكل نقطة في مصفوفة حاصل الضرب وأضف هذا إلى منتجات الصفوف المتبقية وعناصر العمود في الصف والعمود الذي تشير إليه النقطة الجديدة ينتمي.
بضرب مصفوفتين 2 × 2أوبمعًا ، إذا كان الصف الأول منأهو [1 3] والعمود الأول منبهو [2 5] ، سيكون الرقم في العمود الأول والصف من المصفوفة الجديدة [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15 ، وبالتالي في النقاط الثلاث الأخرى.
احسب القيم الذاتية عبر الإنترنت
في الموارد ، ستجد أداة حساب مصفوفة تسمح لك بالعثور على قيم eigenvalues والمزيد لمصفوفة من أي حجم يمكن تصوره تقريبًا.