في الرياضيات ، تنشأ الحاجة أحيانًا لإثبات ما إذا كانت الوظائف تعتمد أو مستقلة عن بعضها البعض بمعنى خطي. إذا كان لديك وظيفتان تعتمدان على خطي ، فإن رسم معادلات هاتين الدالتين بالرسم البياني ينتج عنه نقاط متداخلة. لا تتداخل الدالات ذات المعادلات المستقلة عند رسمها بيانيًا. إحدى طرق تحديد ما إذا كانت الوظائف تابعة أم مستقلة هي حساب Wronskian للوظائف.
ما هو Wronskian؟
ال Wronskian لوظيفتين أو أكثر هو ما يعرف بالمحدد ، وهي وظيفة خاصة تستخدم لمقارنة الأشياء الرياضية وإثبات حقائق معينة عنها. في حالة Wronskian ، يتم استخدام المحدد لإثبات التبعية أو الاستقلال بين وظيفتين خطيتين أو أكثر.
مصفوفة Wronskian
لحساب Wronskian للوظائف الخطية ، يجب حل الوظائف بنفس القيمة داخل مصفوفة تحتوي على كل من الوظائف ومشتقاتها. مثال على ذلك
W (f، g) (t) = \ start {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
الذي يوفر Wronskian لوظيفتين (Fوز) يتم حلها لقيمة واحدة أكبر من الصفر (ر); يمكنك رؤية الوظيفتينF(ر) وز(ر) في الصف العلوي من المصفوفة والمشتقاتF'(ر) وز'(ر) في الصف السفلي. لاحظ أنه يمكن استخدام Wronskian للمجموعات الأكبر أيضًا. على سبيل المثال ، إذا قمت باختبار ثلاث وظائف باستخدام Wronskian ، فيمكنك ملء مصفوفة بوظائف ومشتقات
حل Wronskian
بمجرد أن يتم ترتيب الوظائف في مصفوفة ، اضرب كل دالة في مقابل مشتق الدالة الأخرى واطرح القيمة الأولى من الثانية. على سبيل المثال أعلاه ، هذا يمنحك
W (f، g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
إذا كانت الإجابة النهائية تساوي صفرًا ، فهذا يدل على أن الوظيفتين تابعتان. إذا كانت الإجابة شيئًا بخلاف الصفر ، فإن الوظائف تكون مستقلة.
مثال Wronskian
لإعطائك فكرة أفضل عن كيفية عمل ذلك ، افترض ذلك
f (t) = x + 3 \ text {and} g (t) = x - 2
باستخدام قيمةر= 1 ، يمكنك حل الوظائف مثل
و (1) = 4 \ نص {و} ز (1) = -1
نظرًا لأن هذه وظائف خطية أساسية بميل 1 ، فإن مشتقات كليهماF(ر) وز(ر) يساوي 1. عبر ضرب القيم الخاصة بك يعطي ل
ث (و ، ز) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
الذي يعطي نتيجة نهائية من 5. على الرغم من أن كلا الدوال الخطية لها نفس الميل ، إلا أنها مستقلة لأن نقاطها لا تتداخل. إذاF(ر) كانت النتيجة −1 بدلاً من 4 ، كان Wronskian سيعطي نتيجة صفر بدلاً من الإشارة إلى التبعية.