كيفية إيجاد معادلة أسية بنقطتين

إذا كنت تعرف نقطتين تقعان على منحنى أسي معين ، يمكنك تحديد المنحنى عن طريق حل الدالة الأسية العامة باستخدام تلك النقاط. عمليًا ، هذا يعني استبدال نقطتي y و x في المعادلة y = ab^x. يكون الإجراء أسهل إذا كانت قيمة x لإحدى النقاط تساوي 0 ، مما يعني أن النقطة تقع على المحور y. إذا لم تكن أي من النقطتين تساوي صفرًا من قيم x ، فإن عملية حل قيم x و y تكون أكثر تعقيدًا.

تتبع العديد من الأنظمة المهمة أنماطًا متسارعة من النمو والانحلال. على سبيل المثال ، عادة ما يزداد عدد البكتيريا في المستعمرة أضعافا مضاعفة ، وعادة ما يتناقص الإشعاع المحيط في الغلاف الجوي بعد حدث نووي بشكل كبير. من خلال أخذ البيانات ورسم منحنى ، يكون العلماء في وضع أفضل لعمل التنبؤات.

يمكن تمثيل أي نقطة على الرسم البياني ثنائي الأبعاد برقمين ، وعادة ما يتم كتابتهما في الصيغة (x ، y) ، حيث تحدد x المسافة الأفقية من الأصل و y تمثل الرأسي مسافه: بعد. على سبيل المثال ، النقطة (2 ، 3) هي وحدتان على يمين المحور الصادي وثلاث وحدات فوق المحور السيني. من ناحية أخرى ، النقطة (-2 ، -3) هي وحدتان على يسار المحور ص. وثلاث وحدات تحت المحور السيني.

إذا كان لديك نقطتان ، (x₁، ذ₁) و (x₂، ذ₂) ، يمكنك تحديد الدالة الأسية التي تمر عبر هذه النقاط عن طريق استبدالها في المعادلة y = ab^x وحل من أجل a و b. بشكل عام ، عليك حل هذا الزوج من المعادلات:

ذ₁ = أب^x1 و ذ₂ = أب^{x2 ،} .

في هذا النموذج ، تبدو الرياضيات معقدة بعض الشيء ، لكنها تبدو أقل تعقيدًا بعد الانتهاء من بعض الأمثلة.

إذا كانت إحدى قيم x - قل x₁ - هي 0 ، تصبح العملية بسيطة للغاية. على سبيل المثال ، يؤدي حل معادلة النقاط (0 ، 2) و (2 ، 4) إلى:

2 = أب⁰ و 4 = أب². بما أننا نعلم أن ب⁰ = 1 ، تصبح المعادلة الأولى 2 = أ. استبدال a في المعادلة الثانية ينتج 4 = 2b²، والتي نبسطها إلى ب² = 2 ، أو ب = الجذر التربيعي للعدد 2 ، والذي يساوي 1.41 تقريبًا. وظيفة التعريف إذن ص = 2 (1.41)^x.

إذا لم تكن قيمة x تساوي صفرًا ، فسيكون حل زوج المعادلتين أكثر تعقيدًا. هينوكماث يرشدنا من خلال مثال سهل لتوضيح هذا الإجراء. في مثاله ، اختار زوج النقاط (2 ، 3) و (4 ، 27). ينتج عن ذلك زوج المعادلات التالي:

27 = أب⁴

3 = أب²

إذا قسمت المعادلة الأولى على الثانية ، تحصل على

9 = ب²

لذلك ب = 3. من الممكن أن يساوي b -3 أيضًا ، لكن في هذه الحالة ، افترض أنه موجب.

يمكنك استبدال هذه القيمة بـ b في أي من المعادلتين للحصول على a. من الأسهل استخدام المعادلة الثانية ، لذلك:

3 = أ (3)² والتي يمكن تبسيطها إلى 3 = a9 ، a = 3/9 أو 1/3.

يمكن كتابة المعادلة التي تمر عبر هذه النقاط كـ ص = 1/3 (3)^x.

منذ عام 1910 ، كان النمو السكاني البشري أسيًا ، ومن خلال رسم منحنى النمو ، أصبح العلماء في وضع أفضل للتنبؤ بالمستقبل والتخطيط له. في عام 1910 ، كان عدد سكان العالم 1.75 مليار ، وفي عام 2010 ، كان 6.87 مليار. بأخذ 1910 كنقطة بداية ، فإن هذا يعطي الزوج من النقاط (0 ، 1.75) و (100 ، 6.87). نظرًا لأن قيمة x للنقطة الأولى هي صفر ، فيمكننا بسهولة إيجاد a.

1.75 = أب⁰ أو أ = 1.75. بإدخال هذه القيمة ، جنبًا إلى جنب مع تلك الخاصة بالنقطة الثانية ، في المعادلة الأسية العامة ينتج 6.87 = 1.75b¹⁰⁰، والتي تعطي قيمة b كجذر مائة لـ 6.87 / 1.75 أو 3.93. هكذا تصبح المعادلة ص = 1.75 (جذر مائة من 3.93)^x. على الرغم من أن القيام بذلك يتطلب أكثر من قاعدة شريحة ، يمكن للعلماء استخدام هذه المعادلة لتوقع أعداد السكان في المستقبل لمساعدة السياسيين في الوقت الحاضر على وضع السياسات المناسبة.