كيف تجد المشتقات

إحدى العمليات المهمة في التفاضل والتكامل هي إيجاد المشتقات. يُطلق على مشتق الوظيفة أيضًا اسم معدل تغيير تلك الوظيفة. على سبيل المثال ، إذا كانت x (t) هي موضع السيارة في أي وقت t ، فإن مشتق x ، المكتوب dx / dt ، هو سرعة السيارة. أيضًا ، يمكن تصور المشتق على أنه ميل لخط مماس للرسم البياني للدالة. على المستوى النظري ، هكذا يجد علماء الرياضيات المشتقات. في الممارسة العملية ، يستخدم علماء الرياضيات مجموعات من القواعد الأساسية وجداول البحث.

ميل الخط الفاصل بين نقطتين هو الارتفاع ، أو الاختلاف في قيم y مقسومًا على المدى ، أو الاختلاف في قيم x. يتم تعريف ميل الدالة y (x) لقيمة معينة من x على أنه ميل الخط المماس للدالة عند النقطة [x، y (x)]. لحساب الميل ، عليك إنشاء خط بين النقطة [x، y (x)] والنقطة القريبة [x + h، y (x + h)] ، حيث h عدد صغير جدًا. بالنسبة لهذا الخط ، يكون المدى أو التغيير في قيمة x هو h ، والارتفاع أو التغيير في قيمة y هو y (x + h) - y (x). وبالتالي ، فإن ميل y (x) عند النقطة [x، y (x)] يساوي تقريبًا [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. للحصول على الميل بالضبط ، يمكنك حساب قيمة المنحدر عندما يصبح h أصغر وأصغر ، إلى "النهاية" حيث ينتقل إلى الصفر. الميل المحسوب بهذه الطريقة هو مشتق y (x) ، والذي يكتب بالصيغة y '(x) أو dy / dx.

يمكنك استخدام طريقة الميل / النهاية لحساب مشتقات الدوال حيث y يساوي x أس a ، أو y (x) = x ^ a. على سبيل المثال ، إذا كان y يساوي x تكعيب ، و y (x) = x ^ 3 ، فإن dy / dx هو الحد حيث ينتقل h إلى صفر من [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. التوسيع (x + h) ^ 3 يعطي [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h ، مما يقلل إلى 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 بعد القسمة بواسطة h. في النهاية عندما يصل h إلى صفر ، فإن جميع الحدود التي تحتوي على h فيها تساوي صفرًا أيضًا. إذن ، y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. يمكنك القيام بذلك لقيم أخرى غير 3 ، وبشكل عام ، يمكنك إظهار أن d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

يمكن كتابة العديد من الوظائف على أنها ما يسمى بسلسلة القوة ، والتي هي مجموع عدد لا نهائي من المصطلحات ، حيث كل منها على شكل C (n) x ^ n ، حيث x متغير ، n عدد صحيح و C (n) رقم محدد لكل قيمة من ن. على سبيل المثال ، سلسلة الأس لوظيفة الجيب هي Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +... ، حيث "..." تعني استمرار المصطلحات في إلى ما لا نهاية. إذا كنت تعرف سلسلة الأس لوظيفة ما ، فيمكنك استخدام مشتق القوة x ^ n لحساب مشتق الدالة. على سبيل المثال ، مشتق Sin (x) يساوي 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +... ، والتي تصادف أن تكون سلسلة الأس لـ Cos (x).

تم العثور على مشتقات الوظائف الأساسية مثل القوى مثل x ^ a ، والدوال الأسية ، ووظائف السجل ، والدوال المثلثية ، باستخدام طريقة الميل / الحد ، أو طريقة سلسلة الطاقة أو طرق أخرى. ثم يتم سرد هذه المشتقات في الجداول. على سبيل المثال ، يمكنك البحث عن مشتق Sin (x) هو Cos (x). عندما تكون الدالات المعقدة عبارة عن مجموعات من الوظائف الأساسية ، فإنك تحتاج إلى قواعد خاصة مثل قاعدة السلسلة وقاعدة المنتج ، والتي يتم توفيرها أيضًا في الجداول. على سبيل المثال ، يمكنك استخدام قاعدة السلسلة لتجد أن مشتق Sin (x ^ 2) هو 2xCos (x ^ 2). يمكنك استخدام قاعدة الضرب لإيجاد أن مشتق xSin (x) هو xCos (x) + Sin (x). باستخدام الجداول والقواعد البسيطة ، يمكنك إيجاد مشتق أي دالة. ولكن عندما تكون الوظيفة معقدة للغاية ، يلجأ العلماء أحيانًا إلى برامج الكمبيوتر للحصول على المساعدة.