يشكل تعلم التعامل مع الأسس جزءًا لا يتجزأ من أي تعليم للرياضيات ، ولكن لحسن الحظ ، تتوافق قواعد الضرب والقسمة مع قواعد الأس غير الكسرية. الخطوة الأولى لفهم كيفية التعامل مع الأسس الكسرية هي الحصول على ملخص لما هي عليه بالضبط ، وبعد ذلك يمكنك إلقاء نظرة على الطرق التي يمكنك من خلالها دمج الأسس عند ضربها أو قسمةها ويكون لها نفس يتمركز. باختصار ، تجمع الأسس معًا عند الضرب وتطرح أحدهما من الآخر عند القسمة ، بشرط أن يكون لهما نفس الأساس.
TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)
اضرب الحدود مع الأس باستخدام القاعدة العامة:
xأ + xب = x(أ + ب)
وقسم الحدود مع الأس باستخدام القاعدة:
xأ ÷ xب = x(أ – ب)
تعمل هذه القواعد مع أي تعبير بدلاً منأوب، حتى الكسور.
ما هي كسور الأس؟
توفر الأسس الكسرية طريقة مدمجة ومفيدة للتعبير عن الجذور التربيعية والمكعبية والجذور الأعلى. يخبرك المقام الموجود على الأس بجذر الرقم "الأساسي" الذي يمثله الحد. في مصطلح مثلxأ، أنت أتصلxالقاعدة وأالأس. لذلك يخبرك الأس الكسري:
س ^ {1/2} = \ sqrt {x}
يخبرك المقام اثنين في الأس أنك تأخذ الجذر التربيعي لـxفي هذا التعبير. تنطبق نفس القاعدة الأساسية على الجذور العليا:
س ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
و
س ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
يستمر هذا النمط. للحصول على مثال ملموس:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
و
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
قواعد الأس الكسر: ضرب الأسس الكسرية بنفس الأساس
اضرب الحدود بأسس كسرية (بشرط أن يكون لها نفس الأساس) بجمع الأسس معًا. على سبيل المثال:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
حيثx1/3 يعني "الجذر التكعيبي لـx، "من المنطقي تمامًا أن يؤدي ضرب هذا في نفسه مرتين إلى النتيجةx. قد تصادف أيضًا أمثلة مثلx1/3 × x1/3، لكنك تتعامل معها بنفس الطريقة تمامًا:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
حقيقة أن التعبير في النهاية لا يزال أسًا كسريًا لا يُحدث فرقًا في العملية. يمكن تبسيط هذا إذا لاحظت ذلكx2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. بتعبير مثل هذا ، لا يهم ما إذا كنت تأخذ الجذر أو القوة أولاً. يوضح هذا المثال كيفية حساب هذه:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
نظرًا لأنه من السهل حساب الجذر التكعيبي لـ 8 ، تعامل مع هذا على النحو التالي:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
هذا يعني:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
قد تواجه أيضًا حاصل ضرب الأسس الكسرية بأرقام مختلفة في مقامات الكسور ، ويمكنك إضافة هذه الأسس بنفس الطريقة التي تضيف بها الكسور الأخرى. على سبيل المثال:
\ ابدأ {محاذاة} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ end {align}
هذه كلها تعبيرات محددة للقاعدة العامة لضرب تعبيرين بأسس:
س ^ أ + س ^ ب = س ^ {(أ + ب)}
قواعد الأس الكسر: قسمة الأسس الكسرية بنفس الأساس
عالج القسمة على رقمين بأسس كسرية بطرح الأس الذي تقسمه (المقسوم عليه) على الرقم الذي تقسمه (المقسوم). على سبيل المثال:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
هذا منطقي ، لأن أي عدد مقسوم على نفسه يساوي واحدًا ، وهذا يتفق مع النتيجة القياسية التي مفادها أن أي عدد مرفوع إلى أس 0 يساوي واحدًا. يستخدم المثال التالي الأرقام كأساس وأسس مختلفة:
\ تبدأ {محاذاة} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ end {align}
والتي يمكنك أيضًا رؤيتها إذا لاحظت ذلك 161/2 = 4 و 161/4 = 2.
كما هو الحال مع الضرب ، قد ينتهي بك الأمر أيضًا بأسس كسرية لها رقم غير واحد في البسط ، لكنك تتعامل معها بنفس الطريقة.
هذه تعبر ببساطة عن القاعدة العامة لقسمة الأس:
س ^ أ ÷ س ^ ب = س ^ {(أ - ب)}
ضرب وقسمة الأسس الكسرية في قواعد مختلفة
إذا كانت الأسس على الحدود مختلفة ، فلا توجد طريقة سهلة لضرب الأسس أو قسمةها. في هذه الحالات ، احسب ببساطة قيمة المصطلحات الفردية ثم نفذ العملية المطلوبة. الاستثناء الوحيد هو إذا كان الأس هو نفسه ، وفي هذه الحالة يمكنك ضربها أو تقسيمها على النحو التالي:
س ^ 4 × ص ^ 4 = (س ص) ^ 4 × س ^ 4 ÷ ص ^ 4 = (س ÷ ص) ^ 4