ما هي الأعداد الحقيقية؟

الأعداد الحقيقية هي جميع الأرقام الموجودة على خط الأعداد الممتد من اللانهاية السالبة إلى الصفر إلى اللانهاية الموجبة. هذا البناء لمجموعة الأعداد الحقيقية ليس تعسفيًا بل نتيجة تطور من الأعداد الطبيعية المستخدمة في العد. يحتوي نظام الأعداد الطبيعية على العديد من التناقضات ، وكلما أصبحت الحسابات أكثر تعقيدًا ، توسع نظام الأرقام لمعالجة حدوده. باستخدام الأرقام الحقيقية ، تعطي العمليات الحسابية نتائج متسقة ، وهناك استثناءات أو قيود قليلة مثل كانت موجودة مع الإصدارات الأكثر بدائية من نظام الأرقام.

TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)

تتكون مجموعة الأعداد الحقيقية من جميع الأرقام الموجودة على خط الأعداد. يتضمن ذلك الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة والأرقام المنطقية والأرقام غير المنطقية. لا تشمل الأعداد التخيلية أو الأعداد المركبة.

الإغلاق هو خاصية لمجموعة من الأرقام مما يعني أنه إذا تم إجراء الحسابات المسموح بها على أرقام أعضاء في المجموعة ، فستكون الإجابات أيضًا عبارة عن أرقام أعضاء في المجموعة. يقال أن المجموعة مغلقة.

الأعداد الطبيعية هي أرقام العد ، 1 ، 2 ، 3... ، ومجموعة الأعداد الطبيعية ليست مغلقة. نظرًا لاستخدام الأرقام الطبيعية في التجارة ، ظهرت مشكلتان على الفور. في حين أن الأعداد الطبيعية تحسب الأشياء الحقيقية ، على سبيل المثال الأبقار ، إذا كان لدى المزارع خمسة أبقار وباع خمسة أبقار ، لم يكن هناك رقم طبيعي للنتيجة. طورت أنظمة الأرقام المبكرة بسرعة مصطلحًا للصفر لمعالجة هذه المشكلة. كانت النتيجة نظام الأعداد الصحيحة ، وهي الأعداد الطبيعية زائد صفر.

ارتبطت المشكلة الثانية أيضًا بالطرح. طالما أن الأرقام تحسب أشياء حقيقية مثل الأبقار ، فلن يتمكن المزارع من بيع أبقار أكثر مما كان لديه. ولكن عندما أصبحت الأرقام مجردة ، فإن طرح أعداد أكبر من الأرقام الأصغر يعطي إجابات خارج نظام الأعداد الصحيحة. نتيجة لذلك ، تم إدخال الأعداد الصحيحة ، وهي الأعداد الصحيحة بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية السالبة. يتضمن نظام الأرقام الآن سطرًا كاملاً ولكن مع أعداد صحيحة فقط.

يجب أن تعطي الحسابات في نظام الأرقام المغلقة إجابات من داخل نظام الأرقام لـ عمليات مثل الجمع والضرب ولكن أيضًا لعملياتها العكسية والطرح و قطاع. نظام الأعداد الصحيحة مغلق للجمع والطرح والضرب ولكن ليس للقسمة. إذا تم قسمة عدد صحيح على عدد صحيح آخر ، فإن النتيجة ليست دائمًا عددًا صحيحًا.

ينتج عن قسمة عدد صحيح صغير على عدد أكبر كسر. تمت إضافة هذه الكسور إلى نظام الأرقام كأرقام منطقية. يتم تعريف الأرقام المنطقية على أنها أي رقم يمكن التعبير عنه كنسبة من عددين صحيحين. يمكن التعبير عن أي رقم عشري تعسفي كرقم منطقي. على سبيل المثال 2.864 هو 2864/1000 و 0.89632 هو 89632 / 100،000. يبدو الآن أن خط الأعداد قد اكتمل.

توجد أرقام على خط الأعداد لا يمكن التعبير عنها في صورة كسر من الأعداد الصحيحة. واحد هو نسبة أضلاع مثلث قائم الزاوية إلى الوتر. إذا كان اثنان من ضلعي المثلث القائم الزاوية هما 1 و 1 ، فإن الوتر هو الجذر التربيعي لـ 2. الجذر التربيعي لاثنين هو عدد عشري لا نهائي ولا يتكرر. تسمى هذه الأرقام غير منطقية ، وهي تشمل جميع الأرقام الحقيقية غير المنطقية. مع هذا التعريف ، يكون خط الأعداد لجميع الأعداد الحقيقية مكتملاً لأن أي رقم حقيقي آخر غير منطقي يتم تضمينه في تعريف غير منطقي.

على الرغم من أن خط الأعداد الحقيقي يمتد من اللانهاية السالبة إلى اللانهاية الموجبة ، فإن اللانهاية نفسها ليست a رقم حقيقي بل هو مفهوم لنظام الأرقام يعرّفها على أنها كمية أكبر من أي كمية عدد. اللانهاية رياضياً هي الإجابة على 1 / x عندما تصل x إلى الصفر ، لكن القسمة على الصفر غير محددة. إذا كانت اللانهاية عددًا ، فإنها ستؤدي إلى تناقضات لأن اللانهاية لا تتبع قوانين الحساب. على سبيل المثال ، ما زالت اللانهاية زائد 1 لا نهاية.

يتم إغلاق مجموعة الأعداد الحقيقية للجمع والطرح والضرب والقسمة باستثناء القسمة على الصفر ، والتي لم يتم تعريفها. لم يتم إغلاق المجموعة لعملية أخرى واحدة على الأقل.

تحدد قواعد الضرب في مجموعة الأعداد الحقيقية أن ضرب السالب و a الرقم الموجب يعطي رقمًا سالبًا بينما يعطي ضرب الأعداد الموجبة أو السالبة موجبًا الإجابات. هذا يعني أن الحالة الخاصة لضرب رقم في حد ذاته ينتج عنه رقم موجب لكل من الأرقام الموجبة والسالبة. معكوس هذه الحالة الخاصة هو الجذر التربيعي لعدد موجب ، مما يعطي إجابة موجبة وسالبة. بالنسبة للجذر التربيعي لعدد سالب ، لا توجد إجابة في مجموعة الأعداد الحقيقية.

يتناول مفهوم مجموعة الأعداد التخيلية مسألة الجذور التربيعية السالبة في الأعداد الحقيقية. يتم تعريف الجذر التربيعي لسالب 1 على أنه i وجميع الأعداد التخيلية هي مضاعفات i. لإكمال نظرية الأعداد ، تُعرَّف مجموعة الأعداد المركبة على أنها تشمل جميع الأعداد الحقيقية وجميع الأعداد التخيلية. يمكن أن يستمر تصور الأرقام الحقيقية على خط أعداد أفقي بينما الأرقام التخيلية عبارة عن خط أرقام رأسي ، حيث يتقاطع الرقمان عند الصفر. الأعداد المركبة هي نقاط في مستوى خطي الأعداد ، ولكل منهما مكون حقيقي وخيالي.