ما هي مجموعات فرعية من الأعداد الحقيقية؟

تتكون مجموعة الأعداد الحقيقية من جميع الأرقام الموجودة على خط الأعداد. يمكن أن تتضمن المجموعات الفرعية أي مجموعة من الأرقام ، ولكن يجب أن تحتوي عناصر مجموعة فرعية مهمة على العديد من الخصائص المشتركة على الأقل. معظم هذه المجموعات الفرعية مفيدة فقط لعمليات حسابية محددة ، ولكن هناك عددًا قليلاً منها لها خصائص مثيرة للاهتمام والتي تساعد في فهم كيفية عمل نظام الأرقام الحقيقية.

TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)

أهم المجموعات الفرعية لمجموعة الأعداد الحقيقية تشمل الأعداد المنطقية وغير المنطقية. يمكن تقسيم مجموعة الأعداد المنطقية إلى مجموعات فرعية أخرى ، بما في ذلك الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة. مجموعات فرعية أخرى من الأعداد الحقيقية هي الأعداد الزوجية والفردية والأعداد الأولية والأعداد الصحيحة. إجمالاً هناك عدد لا حصر له من مجموعات فرعية من الأرقام الحقيقية.

بالنسبة لأي مجموعة تحتوي على كمية n من العناصر ، فإن عدد المجموعات الفرعية هو 2^ن. تحتوي مجموعة الأعداد الحقيقية على عدد لا حصر له من العناصر ، وبالتالي فإن الأسي المقابل لـ 2 هو أيضًا لانهائي ، مما يعطي عددًا لا حصر له من المجموعات الفرعية.

يمكن استخدام العديد من هذه المجموعات الفرعية عند العمل بنظام الأرقام الحقيقية وأثناء العمليات الحسابية ، ولكنها مفيدة فقط لأغراض محددة. على سبيل المثال ، لحساب سعر العديد من أنواع البيتزا للأصدقاء ، قد تكون المجموعة الفرعية فقط من الأرقام من عشرة إلى مائة ذات أهمية. قد يُظهر مقياس الحرارة الخارجي فقط مجموعة فرعية من درجات الحرارة من -40 إلى زائد 120 درجة فهرنهايت. يعد العمل مع مجموعات فرعية مثل هذه مفيدًا لأن أي نتيجة خارج المجموعة الفرعية المتوقعة ربما تكون خاطئة.

تصنف المجموعات الفرعية الأكثر عمومية للأرقام الحقيقية الأرقام وفقًا لخصائصها ، ونتيجة لذلك ، تتمتع هذه المجموعات الفرعية بخصائص فريدة. تطور نظام الأعداد الحقيقية من مجموعات فرعية مثل الأعداد الطبيعية ، والتي تُستخدم للعد ، وتشكل هذه المجموعات الفرعية الأساس لفهم الجبر.

تتكون مجموعة الأعداد الحقيقية من الأعداد المنطقية وغير المنطقية. الأعداد المنطقية هي أعداد صحيحة وأرقام يمكن التعبير عنها في صورة كسر. جميع الأعداد الحقيقية الأخرى غير منطقية ، وتتضمن أرقامًا مثل الجذر التربيعي للعدد 2 والعدد باي. نظرًا لأن الأرقام غير المنطقية تُعرَّف على أنها مجموعة فرعية من الأرقام الحقيقية ، يجب أن تكون جميع الأرقام غير المنطقية أرقامًا حقيقية.

يمكن تقسيم الأرقام المنطقية إلى مجموعات فرعية إضافية. الأعداد الطبيعية هي الأرقام التي تم استخدامها تاريخيًا في العد ، وهي التسلسل 1 ، 2 ، 3 ، إلخ. الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية زائد صفر. الأعداد الصحيحة هي الأعداد الصحيحة بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية السالبة.

تتضمن مجموعات فرعية أخرى من الأعداد المنطقية مفاهيم مثل الأعداد الزوجية والفردية والأولية والكمال. الأعداد الزوجية هي الأعداد الصحيحة التي لها 2 كعامل ؛ الأعداد الفردية هي جميع الأعداد الصحيحة الأخرى. الأعداد الأولية هي الأعداد الصحيحة التي لها فقط نفسها و 1 كعوامل. الأعداد المثالية هي الأعداد الصحيحة التي تضيف عواملها إلى العدد. أصغر عدد مثالي هو 6 وعوامله 1 و 2 و 3 تضيف 6.

بشكل عام ، الحسابات التي يتم إجراؤها بأرقام حقيقية تعطي إجابات بأرقام حقيقية ، ولكن هناك استثناء. لا يوجد رقم حقيقي ، عند ضربه في نفسه ، ينتج عنه رقم حقيقي سالب كإجابة. نتيجة لذلك ، لا يمكن أن يكون الجذر التربيعي لعدد حقيقي سالب عددًا حقيقيًا. تسمى الجذور التربيعية للأعداد الحقيقية السالبة بالأرقام التخيلية ، وهي عناصر مجموعة من الأعداد منفصلة تمامًا عن الأعداد الحقيقية.

تعد دراسة المجموعات الفرعية للأرقام الحقيقية جزءًا من نظرية الأعداد ، وهي تصنف الأرقام لتسهيل فهم كيفية عمل نظرية الأعداد. يعد التعرف على مجموعات فرعية من الأرقام الحقيقية وخصائصها أساسًا جيدًا لمزيد من الدراسات الرياضية.