يمكنك تمثيل أي خط يمكنك رسمه على محور ثنائي الأبعاد x-y بواسطة معادلة خطية. من أبسط التعبيرات الجبرية ، المعادلة الخطية هي التي تربط القوة الأولى لـ x بالقوة الأولى لـ y. يمكن أن تتخذ المعادلة الخطية أحد الأشكال الثلاثة: صيغة نقطة الانحدار ، وصيغة الميل وتقاطع ، والصيغة القياسية. يمكنك كتابة النموذج القياسي بإحدى طريقتين مكافئتين. الأول هو:
الفأس + ب + ج = 0
حيث أ ، ب ، ج ثوابت. الطريقة الثانية هي:
الفأس + ب = ج
لاحظ أن هذه تعبيرات معممة ، وأن الثوابت في التعبير الثاني ليست بالضرورة نفس تلك الموجودة في التعبير الأول. إذا كنت تريد تحويل التعبير الأول إلى التعبير الثاني لقيم معينة من A و B و C ، فسيتعين عليك الكتابة
الفأس + بواسطة = -C
اشتقاق الصيغة القياسية للمعادلة الخطية
تحدد المعادلة الخطية خطًا على المحور x-y. اختيار أي نقطتين على الخط ، (x1، ذ1) و (x2، ذ2) ، يسمح لك بحساب ميل الخط (م). حسب التعريف ، هو "الارتفاع على المدى" ، أو التغيير في إحداثي ص مقسومًا على التغيير في إحداثي س.
م = \ فارك {∆y} {∆x} = \ فارك {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}
الآن دع (x1, ذ1) تكون نقطة معينة (أ, ب) ودع (x2, ذ2) غير محدد ، أي كل قيمxوذ. يصبح التعبير عن المنحدر
م = \ فارك {ص - ب} {س - أ}
الذي يبسط إلى
م (س - أ) = ص - ب
هذا هو شكل نقطة الانحدار للخط. إذا بدلاً من (أ, ب) اخترت النقطة (0 ،ب) ، تصبح هذه المعادلةمكس = ذ − ب. إعادة الترتيب للوضعذبمفرده على الجانب الأيسر ، يمنحك شكل تقاطع الميل للخط:
ص = م س + ب
عادةً ما يكون المنحدر عددًا كسريًا ، لذا اجعله مساويًا لـ -أ/ب. يمكنك بعد ذلك تحويل هذا التعبير إلى النموذج القياسي لخط عن طريق تحريكxمصطلح وثابت في الجانب الأيسر وتبسيطه:
الفأس + ب = ج
أينج = بأو
الفأس + ب + ج = 0
أينج = −ب
مثال 1
التحويل إلى النموذج القياسي:
y = \ frac {3} {4} x + 2
4 ص = 3 س + 2
4 ص - 3 س = 2
3 س - 4 ص = 2
هذه المعادلة في شكل قياسي.أ = 3, ب= −2 وج = 2
مثال 2
أوجد معادلة الصيغة القياسية للخط المار بالنقطتين (-3 ، -2) و (1 ، 4).
\ start {align} m & = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1} \\ & = \ frac {1 - (-3)} {4 - 2} \\ & = \ frac {4} {2 } \\ & = 2 \ end {align}
الصيغة العامة لنقطة الانحدار هي
م (س - أ) = ص - ب
إذا استخدمت النقطة (1 ، 4) ، فسيصبح هذا
2 (س - 1) = ص - 4
2 س - 2 - ص + 4 = 0 \\ 2 س - ص + 2 = 0
هذه المعادلة في شكل قياسيفأس + بواسطة + ج= 0 أينأ = 2, ب= −1 وج = 2