كيفية حل المعادلات التكعيبية

يعد حل وظائف كثيرة الحدود مهارة أساسية لأي شخص يدرس الرياضيات أو الفيزياء ، ولكن التعامل مع هذه العملية - خاصة عندما يتعلق الأمر بالوظائف ذات الترتيب الأعلى - يمكن أن يكون أمرًا صعبًا للغاية. تعتبر الدالة التكعيبية من أصعب أنواع المعادلات متعددة الحدود التي قد يتعين عليك حلها يدويًا. في حين أنه قد لا يكون مباشرًا مثل حل معادلة تربيعية ، إلا أن هناك طريقتين يمكنك استخدامها لإيجاد حل معادلة تكعيبية دون اللجوء إلى الصفحات والصفحات التفصيلية الجبر.

الدالة التكعيبية هي كثيرة حدود من الدرجة الثالثة. دالة كثيرة الحدود العامة لها الشكل:

هنا، x هو المتغير ، ن هو ببساطة أي رقم (ودرجة كثير الحدود) ، ك هو ثابت والحروف الأخرى هي معاملات ثابتة لكل قوة من x. إذن ، الدالة التكعيبية لها ن = 3 ، وهي ببساطة:

أين في هذه الحالة ، د هو الثابت. بشكل عام ، عندما يتعين عليك حل معادلة تكعيبية ، ستظهر لك بالصيغة التالية:

كل حل ل x يسمى "جذر" المعادلة. المعادلات التكعيبية إما لها جذر حقيقي واحد أو ثلاثة ، على الرغم من إمكانية تكرارها ، ولكن هناك دائمًا حل واحد على الأقل.

يتم تحديد نوع المعادلة بواسطة أعلى قوة ، لذلك في المثال أعلاه ، لن تكون معادلة تكعيبية إذا أ = 0، لأن الحد الأعلى للقوة سيكون bx² وستكون معادلة من الدرجة الثانية. هذا يعني أن ما يلي كلها معادلات تكعيبية:

أسهل طريقة لحل المعادلة التكعيبية تتضمن القليل من التخمين ونوعًا حسابيًا من العمليات يسمى القسمة التركيبية. على الرغم من ذلك ، فإن البداية هي في الأساس نفس طريقة التجربة والخطأ لحلول المعادلة التكعيبية. حاول معرفة ماهية الجذور من خلال التخمين. إذا كانت لديك معادلة يكون فيها المعامل الأول ، أ، يساوي 1 ، فمن الأسهل قليلاً تخمين أحد الجذور ، لأنها دائمًا عوامل للمصطلح الثابت الذي يتم تمثيله أعلاه بواسطة د.

لذلك ، بالنظر إلى المعادلة التالية ، على سبيل المثال:

عليك تخمين إحدى قيم x، لكن منذ أ = 1 في هذه الحالة ، فأنت تعلم أنه مهما كانت القيمة ، يجب أن تكون عامل 24. العامل الأول من هذا القبيل هو 1 ، لكن هذا سيترك:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

والذي لن يكون صفرًا ، وسيغادر 1:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

وهو مرة أخرى ليس صفرًا. التالي، x = 2 سيعطي:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

فشل آخر. محاولة x = −2 يعطي:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

هذا يعنى x = −2 هو جذر المعادلة التكعيبية. يوضح هذا مزايا وعيوب طريقة التجربة والخطأ: يمكنك الحصول على الإجابة دون الكثير يعتقد ، لكنه يستغرق وقتًا طويلاً (خاصة إذا كان عليك الذهاب إلى عوامل أعلى قبل العثور على جذر). لحسن الحظ ، عندما تجد جذرًا واحدًا ، يمكنك حل بقية المعادلة بسهولة.

المفتاح هو دمج نظرية العوامل. هذا ينص على أنه إذا x = s حل ، ثم (x – س) هو عامل يمكن سحبه من المعادلة. لهذه الحالة ، س = −2 ، وهكذا (x + 2) عامل يمكننا الانسحاب للمغادرة:

المصطلحات الموجودة في المجموعة الثانية من الأقواس لها شكل معادلة تربيعية ، لذلك إذا وجدت القيم المناسبة لـ أ و بيمكن حل المعادلة.

يمكن تحقيق ذلك باستخدام القسمة التركيبية. أولاً ، اكتب معاملات المعادلة الأصلية في الصف العلوي من الجدول ، بخط فاصل ثم الجذر المعروف على اليمين:

اترك صفًا احتياطيًا ، ثم أضف خطًا أفقيًا تحته. أولاً ، خذ الرقم الأول (1 في هذه الحالة) للأسفل حتى الصف الموجود أسفل الخط الأفقي

الآن اضرب الرقم الذي أدخلته للتو في الجذر المعروف. في هذه الحالة ، 1 × −2 = −2 ، وهذا مكتوب أسفل الرقم التالي في القائمة ، على النحو التالي:

ثم اجمع الأرقام في العمود الثاني وضع النتيجة أسفل الخط الأفقي:

كرر الآن العملية التي مررت بها للتو بالرقم الجديد أسفل الخط الأفقي: اضرب في الجذر ، ضع الإجابة في المساحة الفارغة في العمود التالي ، ثم أضف العمود للحصول على رقم جديد في الصف السفلي. هذه الأوراق:

ثم قم بالعملية مرة أخيرة.

حقيقة أن الإجابة الأخيرة هي صفر تخبرك بأن لديك جذرًا صالحًا ، لذلك إذا لم يكن هذا صفراً ، فأنت قد ارتكبت خطأ في مكان ما.

الآن ، يخبرك الصف السفلي بعوامل المصطلحات الثلاثة في المجموعة الثانية من الأقواس ، لذا يمكنك كتابة:

و حينئذ:

هذه هي أهم مرحلة في الحل ، ويمكنك الانتهاء من هذه النقطة فصاعدًا بعدة طرق.

بمجرد إزالة العامل ، يمكنك إيجاد حل باستخدام التحليل إلى عوامل. من الخطوة أعلاه ، هذه في الأساس نفس مشكلة تحليل المعادلة التربيعية ، والتي يمكن أن تكون صعبة في بعض الحالات. ومع ذلك ، بالنسبة للتعبير:

إذا كنت تتذكر أن العددين اللذين وضعتهما بين قوسين يحتاجان إلى إضافتهما لإعطاء المعامل الثاني (7) وضربهما للحصول على الثالث (12) ، فمن السهل جدًا ملاحظة ذلك في هذه الحالة:

يمكنك مضاعفة ذلك للتحقق ، إذا أردت. لا تشعر بالإحباط إذا لم تتمكن من رؤية العوامل على الفور ؛ يستغرق القليل من الممارسة. هذا يترك المعادلة الأصلية على النحو التالي:

التي يمكنك رؤيتها على الفور لديها حلول في x = −2 و 3 و 4 (جميعها عوامل العدد 24 ، الثابت الأصلي). من الناحية النظرية ، قد يكون من الممكن أيضًا رؤية العوامل الكاملة بدءًا من الإصدار الأصلي للمعادلة ، ولكن هذا كثير أكثر صعوبة ، لذلك من الأفضل إيجاد حل واحد من التجربة والخطأ واستخدام النهج أعلاه قبل محاولة اكتشاف التحليل إلى عوامل.

إذا كنت تكافح لمعرفة العوامل ، فيمكنك استخدام صيغة المعادلة التربيعية:

لإيجاد الحلول المتبقية.

على الرغم من أنه أكبر بكثير وأقل سهولة في التعامل معه ، إلا أنه يوجد حل معادلات تكعيبية بسيطة في شكل الصيغة التكعيبية. هذا يشبه صيغة المعادلة التربيعية حيث تقوم فقط بإدخال قيمك لـ أ, ب, ج و د للحصول على حل ، ولكنه أطول من ذلك بكثير.

إنها تنص على أن:

أين

و

يستغرق استخدام هذه الصيغة وقتًا طويلاً ، ولكن إذا كنت لا ترغب في استخدام طريقة التجربة والخطأ لحلول المعادلة التكعيبية ثم الصيغة التربيعية ، فإن هذا يعمل عندما تمر عبرها كلها.