أنواع معادلات الجبر

هناك خمسة أنواع رئيسية من المعادلات الجبرية ، تتميز بمواضع المتغيرات ، وأنواع العوامل والوظائف المستخدمة ، وسلوك الرسوم البيانية الخاصة بهم. كل نوع من المعادلات له مدخلات متوقعة مختلفة وينتج مخرجات بتفسير مختلف. توضح الاختلافات والتشابهات بين الأنواع الخمسة من المعادلات الجبرية واستخداماتها تنوع وقوة العمليات الجبرية.

تعد المعادلات الفردية ومتعددة الحدود معادلات تتكون من مصطلحات متغيرة مع عدد صحيح من الأسس. تُصنف متعددات الحدود من خلال عدد المصطلحات في التعبير: تحتوي الأحاديات على مصطلح واحد ، وللحدود حدان ، وثلاثية الحدود لها ثلاثة مصطلحات. أي تعبير يحتوي على أكثر من مصطلح يسمى كثير الحدود. يتم تصنيف كثيرات الحدود أيضًا حسب الدرجة ، وهو رقم أعلى الأس في التعبير. كثيرات الحدود ذات الدرجات الأولى والثانية والثالثة تسمى كثيرات الحدود الخطية والتربيعية والمكعبة ، على التوالي. المعادلة x ^ 2 - x - 3 تسمى ثلاثي الحدود التربيعي. توجد المعادلات التربيعية بشكل شائع في الجبر الأول والثاني ؛ الرسم البياني الخاص بهم ، المعروف باسم القطع المكافئ ، يصف القوس الذي تتبعه قذيفة أطلقت في الهواء.

تتميز المعادلات الأسية عن كثيرات الحدود من حيث أن لها شروطًا متغيرة في الأس. مثال على المعادلة الأسية y = 3 ^ (x - 4) + 6. يتم تصنيف الدوال الأسية على أنها نمو أسي إذا كان للمتغير المستقل معامل إيجابي وانحلال أسي إذا كان له معامل سلبي. تُستخدم معادلات النمو الأسي لوصف انتشار السكان والأمراض بالإضافة إلى المفاهيم المالية مثل الفائدة المركبة (صيغة الفائدة المركبة هي Pe ^ (rt) ، حيث P هي الأصل ، و r معدل الفائدة ، و t هي المبلغ من الوقت). تصف معادلات الانحلال الأسي ظواهر مثل الاضمحلال الإشعاعي.

الدوال اللوغاريتمية هي عكس الدوال الأسية. بالنسبة للمعادلة y = 2 ^ x ، فإن الدالة العكسية هي y = log2 x. اللوغاريثم رقم x للأساس b يساوي الأس الذي يتعين عليك رفعه للحصول على الرقم x. على سبيل المثال ، السجل 2 للعدد 16 هو 4 لأن 2 أس 4 يساوي 16. الرقم التجاوزي "e" هو الأكثر استخدامًا كقاعدة لوغاريتمية ؛ كثيرا ما يطلق على لوغاريتم الأساس e اللوغاريتم الطبيعي. تُستخدم المعادلات اللوغاريتمية في العديد من أنواع مقاييس الشدة ، مثل مقياس ريختر للزلازل ومقياس الديسيبل لشدة الصوت. يستخدم مقياس الديسيبل قاعدة لوغاريتمية 10 ، مما يعني أن الزيادة بمقدار ديسيبل واحد تقابل زيادة بمقدار عشرة أضعاف في شدة الصوت.

المعادلات المنطقية هي معادلات جبرية من الشكل p (x) / q (x) ، حيث p (x) و q (x) كلاهما متعدد الحدود. مثال على المعادلة المنطقية هو (x - 4) / (x ^ 2 - 5x + 4). المعادلات المنطقية ملحوظة لوجود خطوط مقاربة ، وهي قيم y و x التي يقترب منها الرسم البياني للمعادلة ولكنها لا تصل أبدًا. الخط المقارب العمودي للمعادلة المنطقية هو قيمة x التي لا يصل إليها الرسم البياني أبدًا - قيمة y تذهب إما إلى اللانهاية الموجبة أو السالبة مع اقتراب قيمة x من الخط المقارب. الخط المقارب الأفقي هو قيمة y التي يقتربها الرسم البياني عندما ينتقل x إلى ما لا نهاية موجب أو سالب.

تحتوي المعادلات المثلثية على الدوال المثلثية sin و cos و tan و sec و csc و cot. تصف الدوال المثلثية النسبة بين جانبي المثلث الأيمن ، مع أخذ قياس الزاوية كمدخل أو متغير مستقل والنسبة كمخرج أو متغير تابع. على سبيل المثال ، y = sin x يصف نسبة الضلع المقابل لمثلث قائم الزاوية إلى الوتر لزاوية القياس x. تتميز الدوال المثلثية بأنها دورية ، مما يعني تكرار الرسم البياني بعد فترة زمنية معينة. الرسم البياني لموجة جيبية قياسية له فترة 360 درجة.