غالبًا ما يتضمن الجبر التعبيرات المبسطة ، لكن بعض التعبيرات أكثر إرباكًا في التعامل معها من غيرها. تتضمن الأرقام المركبة الكمية المعروفة باسمأنا، وهو رقم "وهمي" مع الخاصيةأنا= √−1. إذا كان عليك مجرد تعبير يتضمن رقمًا معقدًا ، فقد يبدو الأمر شاقًا ، لكنها عملية بسيطة جدًا بمجرد أن تتعلم القواعد الأساسية.
TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)
بسّط الأعداد المركبة باتباع قواعد الجبر ذات الأعداد المركبة.
ما هو الرقم المركب؟
يتم تعريف الأعداد المركبة من خلال تضمينها لـأناوهو الجذر التربيعي لسالب واحد. في رياضيات المستوى الأساسي ، لا توجد جذور تربيعية للأرقام السالبة ، لكنها تظهر أحيانًا في مسائل الجبر. يوضح الشكل العام للرقم المركب هيكلها:
ض = أ + ثنائية
أينضتسميات العدد المركب ،أيمثل أي رقم (يسمى الجزء "الحقيقي") ، وبيمثل رقمًا آخر (يسمى الجزء "التخيلي") ، ويمكن أن يكون كلاهما موجبًا أو سالبًا. إذن ، رقم معقد المثال هو:
ض = 2 −4i
بما أنه يمكن تمثيل جميع الجذور التربيعية للأرقام السالبة بمضاعفاتأنا، هذا هو شكل كل الأعداد المركبة. من الناحية الفنية ، يصف الرقم العادي فقط حالة خاصة لرقم مركب حيثب= 0 ، لذلك يمكن اعتبار جميع الأرقام معقدة.
القواعد الأساسية للجبر مع الأعداد المركبة
لجمع وطرح الأعداد المركبة ، ما عليك سوى إضافة أو طرح الجزأين الحقيقي والتخيلي بشكل منفصل. لذلك بالنسبة للأعداد المركبةض = 2 – 4أناوث = 3 + 5أنا، المجموع هو:
\ تبدأ {محاذاة} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + أنا \ إنهاء {محاذاة}
يعمل طرح الأرقام بالطريقة نفسها:
\ start {align} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4-5) i \\ & = -1 -9i \ end {بمحاذاة }
الضرب هو عملية بسيطة أخرى بأرقام مركبة ، لأنه يعمل مثل الضرب العادي إلا أنه عليك تذكر ذلكأنا2 = −1. لذلك لحساب 3أنا × −4أنا:
3i × -4i = -12i ^ 2
لكن منذأنا2= ،1 ، ثم:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
بأعداد مركبة كاملة (باستخدامض = 2 – 4أناوث = 3 + 5أنامرة أخرى) ، تضربهم بنفس الطريقة التي تضربها مع الأرقام العادية مثلأ + ب) (ج + د) ، باستخدام طريقة "الأول ، الداخلي ، الخارجي ، الأخير" (FOIL) ، لإعطاء (أ + ب) (ج + د) = أ + قبل الميلاد + ميلادي + دينار بحريني. كل ما عليك تذكره هو تبسيط أي حالات منأنا2. لذلك على سبيل المثال:
\ تبدأ {محاذاة} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {align}
قسمة الأعداد المركبة
تتضمن قسمة الأعداد المركبة ضرب بسط الكسر ومقامه في الاتحاد المركب للمقام. المرافق المركب يعني فقط إصدار العدد المركب مع عكس الجزء التخيلي في الإشارة. وذلك لض = 2 – 4أناوالمقارن المعقدض = 2 + 4أنا، وللث = 3 + 5أنا, ث = 3 −5أنا. للمشكلة:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
الاقتران المطلوب هوث*. اقسم البسط والمقام على هذا لتحصل على:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
وبعد ذلك تعمل كما في القسم السابق. يعطي البسط:
\ start {align} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {align}
والقاسم يعطي:
\ start {align} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ end {align}
هذا يعنى:
\ start {align} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \، \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \، \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {align}
تبسيط الأعداد المركبة
استخدم القواعد المذكورة أعلاه حسب الحاجة لتبسيط التعبيرات المعقدة. على سبيل المثال:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
يمكن تبسيط ذلك باستخدام قاعدة الجمع في البسط ، وقاعدة الضرب في المقام ، ثم إكمال القسمة. للبسط:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + أنا
بالنسبة للمقام:
\ start {align} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ end {align}
يعطي إعادة وضعها في مكانها ما يلي:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
يؤدي ضرب كلا الجزأين في مرافق المقام إلى:
\ start {align} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \، \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \، \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \، \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \، \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ نهاية {محاذاة}
لذلك هذا يعنيضيبسط على النحو التالي:
\ start {align} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {align}