نصائح لحل المعادلات التربيعية

يحتاج كل طالب جبر في المستويات العليا إلى تعلم حل المعادلات التربيعية. هذه هي نوع من المعادلات متعددة الحدود التي تتضمن قوة 2 ولكن ليست أعلى ، ولها الشكل العام:فأس​² + ​bx​ + ​ج= 0. يمكنك حلها باستخدام صيغة المعادلة التربيعية عن طريق التحليل إلى عوامل أو بإكمال المربع.

TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)

ابحث أولاً عن عامل لحل المعادلة. إذا لم يكن هناك واحد ولكنبالمعامل قابل للقسمة على 2 ، أكمل المربع. إذا لم يكن أي من النهجين سهلاً ، فاستخدم صيغة المعادلة التربيعية.

يستغل التحويل إلى عوامل حقيقة أن الجانب الأيمن من المعادلة التربيعية القياسية يساوي صفرًا. هذا يعني أنه إذا كان بإمكانك تقسيم المعادلة إلى حدين بين قوسين مضروبًا في بعضهما البعض ، فيمكنك إيجاد الحلول بالتفكير فيما يجعل كل قوس يساوي صفرًا. لإعطاء مثال ملموس:

قارن هذا بالشكل القياسي:

في المثال ،أ​ = 1, ​ب= 6 وج= 9. يتمثل التحدي المتمثل في التحليل إلى عوامل في إيجاد رقمين يجمعهما معًا لإعطاء الرقم فيببقعة وضرب معًا للحصول على الرقم في مكانهج​.

لذلك ، يمثل تمثيل الأرقام بواسطةدوه، أنت تبحث عن أرقام ترضي:

أو في هذه الحالة معب​ = 6:

و

أو في هذه الحالة معج​ = 9:

ركز على إيجاد الأرقام التي تعتبر من عواملج، ثم اجمعها معًا لمعرفة ما إذا كانت متساويةب. عندما تكون لديك أرقامك ، ضعها بالتنسيق التالي:

في المثال أعلاه ، كلاهمادوههي 3:

إذا قمت بضرب الأقواس ، فسينتهي بك الأمر بالتعبير الأصلي مرة أخرى ، وهذه ممارسة جيدة للتحقق من التحليل إلى عوامل. يمكنك تشغيل هذه العملية (بضرب الأجزاء الأولى والداخلية والخارجية ثم الأخيرة من الأقواس بالتناوب - راجع الموارد للحصول على مزيد من التفاصيل) لرؤيتها في الاتجاه المعاكس:

تجري عملية التخصيم بشكل فعال من خلال هذه العملية في الاتجاه المعاكس ، ولكن قد يكون من الصعب العمل على الطريقة الصحيحة لتحليل المعادلة التربيعية ، وهذه الطريقة ليست مثالية لكل معادلة تربيعية لهذا السبب. غالبًا ما يتعين عليك التخمين عند التحليل إلى عوامل ثم التحقق منه.

تكمن المشكلة الآن في جعل أي من التعابير الموجودة بين قوسين تساوي الصفر من خلال اختيارك لقيمة لـx. إذا كان أي من القوسين يساوي صفرًا ، فإن المعادلة بأكملها تساوي صفرًا ، وقد توصلت إلى حل. انظر إلى المرحلة الأخيرة [(x​ + 3) (​x+ 3) = 0] وسترى أن الوقت الوحيد الذي تظهر فيه الأقواس صفر هو إذاx= −3. ومع ذلك ، في معظم الحالات ، يكون للمعادلات التربيعية حلين.

العوملة هي أكثر صعوبة إذاألا يساوي واحدًا ، لكن التركيز على الحالات البسيطة أفضل في البداية.

يساعدك إكمال المربع في حل المعادلات التربيعية التي لا يمكن تحليلها إلى عوامل بسهولة. يمكن أن تعمل هذه الطريقة مع أي معادلة تربيعية ، لكن بعض المعادلات تناسبها أكثر من غيرها. يتضمن الأسلوب تحويل التعبير إلى مربع كامل وحل ذلك. يتوسع المربع الكامل العام على النحو التالي:

لحل معادلة تربيعية بإكمال المربع ، ضع التعبير في الصورة على الجانب الأيمن من أعلاه. قسّم أولاً الرقم الموجود فيبالموضع بمقدار 2 ، ثم قم بتربيع النتيجة. لذلك بالنسبة للمعادلة:

المعاملب= 8 إذنب÷ 2 = 4 و (ب​ ÷ 2)² = 16.

أضف هذا إلى كلا الجانبين للحصول على:

لاحظ أن هذا النموذج يطابق شكل المربع الكامل ، معد= 4 ، إذن 2د= 8 ود​² = 16. هذا يعني ذاك:

أدخل هذا في المعادلة السابقة للحصول على:

الآن حل المعادلة لx. خذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين لتحصل على:

اطرح 4 من كلا الجانبين لتحصل على:

يمكن أن يكون الجذر موجبًا أو سالبًا ، وأخذ الجذر السالب يعطي:

أوجد الحل الآخر مع الجذر الموجب:

لذلك فإن الحل الوحيد غير الصفري هو −8. تحقق من هذا مع التعبير الأصلي للتأكيد.

تبدو صيغة المعادلة التربيعية أكثر تعقيدًا من الطرق الأخرى ، لكنها الطريقة الأكثر موثوقية ، ويمكنك استخدامها في أي معادلة من الدرجة الثانية. تستخدم المعادلة الرموز من المعادلة التربيعية القياسية:

وتنص على أن:

أدخل الأعداد المناسبة في أماكنها واعمل من خلال الصيغة لحلها ، وتذكر محاولة طرح حد الجذر التربيعي وإضافة حده ودوّن كلا الإجابتين. للمثال التالي:

عندكأ​ = 1, ​ب= 6 وج= 5. إذن الصيغة تعطي:

أخذ الإشارة الإيجابية يعطي:

وأخذ السالب يعطي:

ما حلا المعادلة.

ابحث عن عامل قبل تجربة أي شيء آخر. إذا تمكنت من تحديد أحدها ، فهذه هي الطريقة الأسرع والأسهل لحل المعادلة التربيعية. تذكر أنك تبحث عن رقمين يتم جمعهما فيبالمعامل واضرب لإعطاءجمعامل في الرياضيات او درجة. لهذه المعادلة:

يمكنك ملاحظة أن 2 + 3 = 5 و 2 × 3 = 6 ، لذلك:

وx= −2 أوx​ = −3.

إذا لم تتمكن من رؤية عامل ، فتحقق لمعرفة ما إذا كانبالمعامل قابل للقسمة على 2 دون اللجوء إلى الكسور. إذا كان الأمر كذلك ، فمن المحتمل أن يكون إكمال المربع هو أسهل طريقة لحل المعادلة.

إذا لم يكن أي من النهجين مناسبًا ، فاستخدم الصيغة. يبدو أن هذا هو النهج الأصعب ، ولكن إذا كنت في امتحان أو دفعت للحصول على الوقت ، يمكن أن يجعل العملية أقل إرهاقًا وأسرع بكثير.