صيغة لحجم ثماني الأضلاع

في الهندسة ، المثمن هو مضلع له ثمانية أضلاع. المثمن العادي له ثمانية أضلاع متساوية وزوايا متساوية. عادة ما يتم التعرف على المثمن العادي من إشارات التوقف. الثماني الوجوه هو متعدد السطوح ثماني السطوح. يحتوي المجسم الثماني المنتظم على ثمانية مثلثات ذات حواف متساوية الطول. إنه فعليًا هرمان مربعا يجتمعان في قاعدتهما.

الصيغة الخاصة بمساحة الشكل الثماني العادي مع جوانب طولها "a" هي 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2 ، حيث يشير "sqrt" إلى الجذر التربيعي.

يمكن رؤية المثمن على أنه 4 مستطيلات ، مربع واحد في المركز وأربعة مثلثات متساوية الساقين في الزوايا.

المربع مساحته أ ^ 2.

المثلثات لها جوانب a و a / sqrt (2) و a / sqrt (2) وفقًا لنظرية فيثاغورس. لذلك ، مساحة كل منها a ^ 2/4.

المستطيلات ذات مساحة أ * أ / مربع (2).

مجموع هذه المناطق التسعة هو 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).

صيغة حجم المجسم الثماني العادي للأضلاع "a" هي ^ 3 * sqrt (2) / 3.

مساحة الهرم رباعي الأضلاع هي مساحة القاعدة * الارتفاع / 3. وبالتالي ، فإن مساحة الشكل الثماني العادي هي 2 * ارتفاع * قاعدة / 3.

القاعدة = أ ^ 2 بشكل تافه.

اختر رأسين متجاورين ، قل "F" و "C." "O" في المركز. FOC هو مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين مع قاعدته "a" ، لذا فإن OC و OF لهما طول a / sqrt (2) بواسطة نظرية فيثاغورس. إذن الارتفاع = a / sqrt (2).

لذا فإن حجم المجسم الثماني العادي هو 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.

سطح المثمن العادي هو مساحة مثلث متساوي الأضلاع من الضلع "أ" مضروبًا في 8 وجوه.

لاستخدام نظرية فيثاغورس ، قم بإسقاط خط من القمة إلى القاعدة. يؤدي هذا إلى إنشاء مثلثين قائم الزاوية ، بطول الوتر "أ" وطول ضلع واحد "أ / 2". لذلك ، يجب أن يكون الجانب الثالث الجذر التربيعي [a ^ 2 - a ^ 2/4] = sqrt (3) a / 2. إذن ، مساحة المثلث متساوي الأضلاع هي الارتفاع * القاعدة / 2 = الجذر التربيعي (3) أ / 2 * أ / 2 = الجذر التربيعي (3) أ ^ 2/4.

مع وجود 8 جوانب ، تبلغ مساحة سطح المجسم العادي 2 * sqrt (3) * a ^ 2.