يمكن أن يبدو علم المثلثات وكأنه موضوع مجرد. لا يبدو أن المصطلحات الغامضة مثل "sin" و "cos" تتوافق مع أي شيء في الواقع ، ومن الصعب فهمها كمفاهيم. تساعد دائرة الوحدة بشكل كبير في هذا الأمر ، حيث تقدم شرحًا مباشرًا لما هي الأرقام التي تحصل عليها عندما تأخذ جيب الزاوية أو جيب التمام أو ظل الزاوية. بالنسبة لأي من طلاب العلوم أو الرياضيات ، فإن فهم دائرة الوحدة يمكن أن يعزز حقًا فهمك لعلم المثلثات وكيفية استخدام الوظائف.
TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)
دائرة الوحدة نصف قطرها واحد. تخيلس صنظام إحداثيات يبدأ من مركز هذه الدائرة. يتم قياس زوايا النقطة من حيثx= 1 وذ= 0 ، على الجانب الأيمن من الدائرة. تزداد الزوايا كلما تحركت عكس اتجاه عقارب الساعة.
باستخدام هذا الإطار ، وذلذ-تنسيق وxلx- تنسيق النقطة على الدائرة:
الخطيئةθ = ذ
كوسθ = x
وبالتالي:
تانθ = ذ / x
ما هي دائرة الوحدة؟
دائرة "الوحدة" نصف قطرها 1. بمعنى آخر ، المسافة من مركز الدائرة إلى أي جزء من الحافة هي دائمًا 1. لا تهم وحدة القياس حقًا ، لأن أهم شيء في دائرة الوحدة هو أنها تجعل العديد من المعادلات والحسابات أبسط بكثير.
كما أنه يمثل أساسًا مفيدًا للنظر في تعريفات الزوايا. تخيل أن مركز الدائرة يقع في مركز نظام إحداثيات بامتداد
x-محور تشغيل أفقي و أذ-محور يعمل بشكل عمودي. الدائرة تتقاطع معx-المحور فيx = 1, ذ= 0. يحدد العلماء وعلماء الرياضيات الزاوية من تلك النقطة تتحرك في عكس اتجاه عقارب الساعة. لذا فإن النقطةx =1, ذ= 0 على الدائرة بزاوية 0 درجة.تعاريف الخطيئة وكوس مع دائرة الوحدة
تتعلق التعريفات العادية للخطيئة وجيب التمام والسمرة المقدمة للطلاب بالمثلثات. يقولون:
\ sin θ = \ frac {\ text {المقابل}} {\ text {الوتر}} \\ \، \\ \ cos θ = \ frac {\ text {المجاور}} {\ text {hypotenuse}} \\ \، \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
يشير "المقابل" إلى طول ضلع المثلث المقابل للزاوية ، بينما يشير "المجاور" إلى طول ضلع المثلث المقابل للزاوية طول الضلع المجاور للزاوية و "الوتر" يشير إلى طول الضلع القطري للزاوية مثلث.
تخيل إنشاء مثلث بحيث يكون الوتر دائمًا هو نصف قطر دائرة الوحدة ، بحيث يكون أحد الزوايا عند حافة الدائرة والآخر في مركزها. هذا يعني أن الوتر = 1 في المعادلات أعلاه ، لذا يصبح أول اثنين:
\ sin θ = \ frac {\ text {المقابل}} {1} = \ text {المقابل} \\ \، \\ \ cos θ = \ frac {\ text {المجاور}} {1} = \ text {المجاور} \\
إذا جعلت الزاوية المعنية هي تلك الموجودة في مركز الدائرة ، فإن العكس هو فقطذ-Cordinate والمجاور هو مجرد ملفx- تنسيق النقطة على الدائرة التي تلامس المثلث. بعبارة أخرى ، ترجع الخطيئة الذ- قم بالتنسيق على دائرة الوحدة (باستخدام الإحداثيات التي تبدأ من المركز) لزاوية معينة وترجع cosx-تنسيق. هذا هو السبب في أن cos (0) = 1 و sin (0) = 0 ، لأن هذه هي الإحداثيات في هذه المرحلة. وبالمثل ، cos (90) = 0 و sin (90) = 1 ، لأن هذه هي النقطةx= 0 وذ= 1. في شكل معادلة:
\ الخطيئة θ = y \\ \ cos θ = x
من السهل أيضًا فهم الزوايا السلبية على أساس ذلك. الزوايا السالبة (المقاسة في اتجاه عقارب الساعة من نقطة البداية) لها نفس الشيءxتنسق كزاوية موجبة مقابلة ، لذلك:
\ cos -θ = cos θ
ومع ذلك ، فإنذ-مفاتيح التنسيق ، مما يعني ذلك
\ الخطيئة -θ = - \ الخطيئة θ
تعريف تان مع دائرة الوحدة
تعريف تان المذكور أعلاه هو:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
لكن مع تعريفات دائرة الوحدة لكل من sin و cos ، يمكنك أن ترى أن هذا يعادل:
\ tan θ = \ frac {\ text {الجهة المقابلة}} {\ text {المجاور}}
أو التفكير في الإحداثيات:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
هذا ما يفسر سبب عدم تحديد تان لـ 90 درجة أو 270 درجة و 270 درجة أو 90 درجة (حيثx= 0) ، لأنه لا يمكنك القسمة على صفر.
الرسوم البيانية الدوال المثلثية
يصبح رسم الخطيئة وجيب التمام أسهل عند التفكير في دائرة الوحدة. الx- يختلف التنسيق بسلاسة أثناء تحركك حول الدائرة ، بدءًا من 1 وينخفض إلى الحد الأدنى −1 عند 180 درجة ، ثم يزيد بنفس الطريقة. تعمل دالة الخطيئة نفس الشيء ، لكنها تزيد إلى قيمة قصوى قدرها 1 عند 90 درجة أولاً ، قبل اتباع نفس النمط. ويقال أن الوظيفتين تخرج بزاوية 90 درجة عن "الطور" مع بعضهما البعض.
رسم تان يتطلب القسمةذبواسطةx، وبالتالي فهو أكثر تعقيدًا في الرسم البياني ، وله أيضًا نقاط حيث يكون غير محدد.