في الرياضيات ، مقلوب الرقم هو الرقم الذي ينتج 1 عند ضربه في الرقم الأصلي. على سبيل المثال ، مقلوب المتغير x هو 1 /x، لأن
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
في هذا المثال ، 1 /xهي الهوية المتبادلةxوالعكس صحيح. في علم المثلثات ، يمكن تحديد أي من الزوايا غير 90 درجة في مثلث قائم الزاوية بنسب تسمى الجيب وجيب التمام والظل. بتطبيق مفهوم الهويات المتبادلة ، يحدد علماء الرياضيات ثلاث نسب أخرى. أسمائهم قاطعة التمام ، قاطعة ، ظل التمام. قاطع التمام هو الهوية المتبادلة لجيب ، وجيب التمام وظل التمام للظل.
كيفية تحديد الهويات المتبادلة
ضع في اعتبارك زاويةθ، وهي إحدى زاويتين غير 90 درجة في مثلث قائم الزاوية. إذا كان طول ضلع المثلث المقابل للزاوية "ب، "طول الضلع المجاور للزاوية والمقابل للوتر هو"أ"وطول الوتر هو"ص، "يمكننا تحديد النسب المثلثية الأساسية الثلاثة من حيث هذه الأطوال.
\ text {sine} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \، \\ \ text {cosine} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \، \\ \ text {tangent} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
الهوية المتبادلة للخطيئةθيجب أن تكون مساوية لـ 1 / sin θ ، لأن هذا هو الرقم الذي عند ضربه في الخطيئة
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \، \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \، \\ \ text {cotangent} θ = \ cot θ = \ frac {1} {\ tan θ}
يمكنك تحديد هذه الهويات المتبادلة من حيث أطوال أضلاع المثلث الأيمن على النحو التالي:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \، \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \، \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
العلاقات التالية صحيحة لأي زاويةθ:
\ الخطيئة θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ ثانية θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
اثنين من المتطابقات المثلثية الأخرى
إذا كنت تعرف جيب الزاوية وجيب التمام لزاوية ، يمكنك اشتقاق المماس. هذا صحيح لأن
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {and} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {، so} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
بما أن هذا هو تعريف tan θ ، فإن الهوية التالية ، والمعروفة باسم متطابقة خارج القسمة ، تتبع:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \، \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ cot θ
تأتي متطابقة فيثاغورس من حقيقة أن أي مثلث قائم الزاوية له أضلاعهأوبوالوترص، ما يلي صحيح:أ2 + ب2 = ص2. إعادة ترتيب المصطلحات وتحديد النسب من حيث الجيب وجيب التمام ، تصل إلى التعبير التالي:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
تتبع علاقتان مهمتان أخريان عند إدخال هويات متبادلة للجيب وجيب التمام في التعبير أعلاه:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ