Як тільки ви починаєте розв’язувати алгебраїчні рівняння, що включають багаточлени, здатність розпізнавати спеціальні, легко розкладені на фактори форми поліномів стає дуже корисною. Одним з найкорисніших поліномів «легкого множника» для виявлення є ідеальний квадрат або тричлен, який є результатом квадратування двочлена. Визначивши ідеальний квадрат, розбиття його на окремі компоненти часто є життєво важливою частиною процесу вирішення проблем.
Перш ніж ви зможете скласти множник ідеального квадратного тричлена, вам слід навчитися його розпізнавати. Ідеальний квадрат може приймати будь-яку з двох форм
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, що є добутком} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ text {, що є добутком} (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2
Перевірте перший і третій доданок тричлена. Вони обидва квадрати? Якщо так, то з’ясуйте, що це за квадрати. Наприклад, у другому прикладі "реального світу", наведеному вище:
y ^ 2 - 2y + 1
термінр2 очевидно квадратр.Термін 1 - це, можливо, менш очевидно, квадрат 1, оскільки 12 = 1.
Помножте коріння першого та третього доданків разом. Продовжуючи приклад, цері 1, що дає вамр × 1 = 1рабо простор.
Далі помножте свій товар на 2. Продовжуючи приклад, ви маєте 2р.
Нарешті, порівняйте результат останнього кроку із середнім членом многочлена. Чи збігаються вони? У поліномір2 – 2р+1, вони роблять. (Знак не має значення; це також було б збігом, якби середній термін був +2р.)
Оскільки відповідь на кроці 1 була "так", а ваш результат із кроку 2 відповідає середньому члену багаточлена, ви знаєте, що розглядаєте ідеальний квадратний тричлен.
Як тільки ви знаєте, що дивитесь на ідеальний трикутник квадрата, процес розкладання його на множники досить простий.
Визначте корені або числа, що в квадраті, у першому та третьому доданках тричлена. Розглянемо ще один із ваших прикладів тричлена, який, як ви вже знаєте, є ідеальним квадратом:
x ^ 2 + 8x + 16
Очевидно, що число, яке квадратується в першому доданку, єх. Число, яке квадратується в третьому доданку, дорівнює 4, оскільки 42 = 16.
Згадайте формули ідеальних квадратних тричленів. Ви знаєте, що ваші фактори прийматимуть будь-яку форму (а + b)(а + b) або форма (а – b)(а – b), деаіb- це числа, що квадратуються в першому та третьому доданках. Тож ви можете записати свої фактори таким чином, поки що опускаючи знаки в середині кожного терміну:
(a \,? \, б) (а \,? \, б) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
Щоб продовжити приклад, підставивши коріння вашого поточного тричлена, у вас є:
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Перевірте середній член тричлена. Чи має він позитивний або негативний знак (або, інакше кажучи, додається чи віднімається)? Якщо він має позитивний знак (або додається), то обидва фактори тринома мають знак плюса посередині. Якщо він має негативний знак (або віднімається), обидва фактори мають негативний знак посередині.
Середній член поточного прикладу тричлена дорівнює 8х- це позитивно - отже, тепер ви врахували ідеальний трикутник квадрата:
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Перевірте свою роботу, помноживши два фактори разом. Застосування методу FOIL або першого, зовнішнього, внутрішнього, останнього методу дає вам:
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
Спрощення цього дає результатх2 + 8х+ 16, що відповідає вашому триному. Тож фактори правильні.