Рівняння площини в тривимірному просторі можна записати в алгебраїчних позначеннях як ax + на + cz = d, де принаймні одна з константи дійсного числа "a," "b" і "c" не повинні бути нульовими, а "x", "y" і "z" представляють осі тривимірної площині. Якщо задано три точки, можна визначити площину, використовуючи векторні поперечні добутки. Вектор - це лінія в просторі. Перехресний добуток - це множення двох векторів.
Отримайте три очки в літаку. Позначте їх як "A", "B" і "C." Наприклад, припустимо, що ці точки дорівнюють A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); і С = (1, 3, 4).
Знайдіть два різних вектори на площині. У прикладі виберіть вектори AB і AC. Вектор АВ йде від точки-А до точки-В, а вектор АС - від точки-А до точки-С. Тож відніміть кожну координату в точці-А від кожної координати в точці-В, щоб отримати вектор АВ: (-2, 3, 1). Подібним чином, вектор змінного струму - точка-C мінус точка-A, або (-2, 2, 3).
Обчисліть поперечний добуток двох векторів, щоб отримати новий вектор, який є нормальним (або перпендикулярним чи ортогональним) до кожного з двох векторів, а також до площини. Перехресний добуток двох векторів (a1, a2, a3) та (b1, b2, b3) задано як N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). У прикладі перехресний добуток N, AB та AC дорівнює i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], що спрощує до N = 7i + 4j + 2k. Зверніть увагу, що “i”, “j” та “k” використовуються для представлення векторних координат.
Виведіть рівняння площини. Рівнянням площини є Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, де (a1, a2, a3) - будь-яка точка площини і (Ni, Nj, Nk ) - нормальний вектор, N. У прикладі, використовуючи точку C, яка дорівнює (1, 3, 4), рівняння площини дорівнює 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, що спрощує 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, або 7x + 4y + 2z = 27.
Перевірте свою відповідь. Підставте вихідні точки, щоб побачити, чи задовольняють вони рівняння площини. На закінчення прикладу, якщо підставити будь-яку з трьох точок, ви побачите, що рівняння площини справді виконано.
Поради
Поради щодо використання систем трьох одночасних рівнянь для пошуку рівняння площини див. У „Ресурсах”.
