Якщо ви знаєте дві точки, які потрапляють на певну експоненціальну криву, ви можете визначити криву, вирішивши загальну експоненціальну функцію, використовуючи ці точки. На практиці це означає підстановку точок на y та x у рівняння y = abх. Процедура простіша, якщо значення x для однієї з точок дорівнює 0, що означає, що точка знаходиться на осі y. Якщо жодна точка не має нульового значення x, процес розв'язування для x і y є трохи складнішим.
Чому експоненціальні функції важливі
Багато важливих систем дотримуються експоненціальних моделей зростання та занепаду. Наприклад, кількість бактерій у колонії зазвичай збільшується в геометричній прогресії, а випромінювання навколишнього середовища в атмосфері після ядерної події, як правило, зменшується в геометричній прогресії. Беручи дані та будуючи криву, вчені мають кращу можливість робити прогнози.
Від пари очок до графіка
Будь-яку точку на двовимірному графіку можна представити двома числами, які зазвичай записуються в форма (x, y), де x визначає горизонтальну відстань від початку координат, а y - вертикаль відстань. Наприклад, точка (2, 3) - це дві одиниці праворуч від осі y і три одиниці над віссю x. З іншого боку, точка (-2, -3) знаходиться на дві одиниці ліворуч від осі y. і на три одиниці нижче осі х.
Якщо у вас два бали, (x1, y1) та (x2, y2), ви можете визначити експоненціальну функцію, яка проходить через ці точки, підставивши їх у рівняння y = abх і розв’язування для a та b. Загалом, вам потрібно вирішити цю пару рівнянь:
р1 = abx1 та y2 = abx2, .
У цій формі математика виглядає дещо складною, але виглядає не так вже й після того, як ви зробили кілька прикладів.
Одна точка на осі X.
Якщо одне із значень x - скажімо x1 - дорівнює 0, операція стає дуже простою. Наприклад, вирішення рівняння для точок (0, 2) та (2, 4) дає:
2 = ab0 і 4 = ab2. Оскільки ми знаємо, що b0 = 1, перше рівняння стає 2 = a. Підставивши у друге рівняння a, вийде 4 = 2b2, який ми спростимо до b2 = 2, або b = квадратний корінь з 2, що дорівнює приблизно 1,41. Тоді визначальною функцією є y = 2 (1,41)х.
Ні точки на осі X
Якщо жодне з значень x не дорівнює нулю, вирішення пари рівнянь трохи громіздкіше. Генохмат розповідає нам простий приклад для роз’яснення цієї процедури. У своєму прикладі він обрав пару очок (2, 3) і (4, 27). З цього виходить наступна пара рівнянь:
27 = ab4
3 = ab2
Якщо розділити перше рівняння на друге, ви отримаєте
9 = b2
так b = 3. Можливо, щоб b також дорівнювало -3, але в цьому випадку припустимо, що це позитив.
Ви можете замінити це значення на b в будь-якому рівнянні, щоб отримати a. Використовувати друге рівняння простіше, тому:
3 = а (3)2 який можна спростити до 3 = a9, a = 3/9 або 1/3.
Рівняння, яке проходить через ці точки, можна записати як y = 1/3 (3)х.
Приклад із реального світу
З 1910 р. Приріст людського населення був експоненціальним, і, будуючи криву зростання, вчені можуть краще прогнозувати та планувати майбутнє. У 1910 році населення світу складало 1,75 мільярда, а в 2010 році - 6,87 мільярда. Беручи за відправну точку 1910, це дає пару очок (0, 1,75) та (100, 6,87). Оскільки значення x першої точки дорівнює нулю, ми легко можемо знайти a.
1,75 = ab0 або a = 1,75. Підключення цього значення разом із значеннями другого пункту до загального експоненціального рівняння дає 6.87 = 1.75b100, що дає значення b як сотий корінь з 6,87 / 1,75 або 3,93. Отже, рівняння стає y = 1,75 (сотий корінь з 3,93)х. Хоча для цього потрібно більше, ніж правило слайдів, вчені можуть використовувати це рівняння для проектування майбутньої кількості населення, щоб допомогти політикам у теперішньому часі створити відповідну політику.