Вирішення нерівностей абсолютних значень багато в чому нагадує розв’язання рівнянь абсолютної величини, але є кілька додаткових деталей, про які слід пам’ятати. Це допомагає вже комфортно розв’язувати рівняння абсолютної величини, але це нормально, якщо ви вивчаєте їх також разом!
Визначення абсолютної нерівності вартості
Перш за все,абсолютна нерівність величини- це нерівність, що передбачає вираження абсолютної величини. Наприклад,
| 5 + х | - 10> 6
є нерівністю абсолютної величини, оскільки вона має знак нерівності,>, і вираз абсолютної величини, | 5 +х |.
Як вирішити абсолютну ціннісну нерівність
кроки до вирішення абсолютної величини нерівностінагадують кроки до розв’язання рівняння абсолютної величини:
Крок 1:Виділіть вираз абсолютного значення з одного боку нерівності.
Крок 2:Розв’яжіть позитивну «версію» нерівності.
Крок 3:Розв’яжіть негативну «версію» нерівності, помноживши величину з іншого боку нерівності на -1 та перекинувши знак нерівності.
Це багато, щоб взяти все одразу, тож ось приклад, який проведе вас через сходинки.
Розв’яжіть нерівність длях:
| 5 + 5x | - 3> 2
Для цього отримайте | 5 + 5х| сам по собі на лівій частині нерівності. Все, що вам потрібно зробити, це додати по 3 на кожну сторону:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Зараз є дві "версії" нерівності, які нам потрібно вирішити: позитивна "версія" та негативна "версія".
На цьому етапі ми припустимо, що все є таким, яким воно є: 5 + 5х > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Це проста нерівність; вам просто потрібно вирішитихяк завжди. Відніміть 5 з обох сторін, а потім розділіть обидві сторони на 5.
\ begin {вирівнювання} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(віднімаємо п’ять з обох сторін)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(розділіть обидві сторони на п'ять)} \\ & x> 0 \ end {вирівняно}
Непогано! Тож одним із можливих рішень нашої нерівності є цех> 0. Тепер, оскільки тут задіяні абсолютні величини, настав час розглянути ще одну можливість.
Щоб зрозуміти цей наступний біт, це допомагає згадати, що означає абсолютна величина.Абсолютна цінністьвимірює відстань числа до нуля. Відстань завжди позитивна, тому 9 - це дев'ять одиниць від нуля, але −9 також дев'ять одиниць від нуля.
Отже | 9 | = 9, але | −9 | = 9 також.
Тепер повернемося до проблеми вище. Вищенаведена робота показала, що | 5 + 5х| > 5; іншими словами, абсолютна величина "чогось" перевищує п'ять. Тепер будь-яке додатне число більше за п’ять буде далі від нуля, ніж п’ять. Отже, першим варіантом було те, що "щось", 5 + 5х, більше 5.
Це:
5 + 5x> 5
Це сценарій, розглянутий вище, на кроці 2.
А тепер подумайте трохи далі. Що ще від нуля відстає п’ять одиниць? Ну, мінусова п’ять - це. І все, що знаходиться далі по числовій прямій від від’ємної п’ятірки, буде ще далі від нуля. Отже, нашим «чимось» може бути від’ємне число, яке знаходиться далі від нуля, ніж від’ємне п’ять. Це означає, що це було б більшим звучанням, але технічноменше ніжвід’ємна п’ятірка, оскільки вона рухається у від’ємному напрямку на числовій прямій.
Отже, наше "щось", 5 + 5x, може бути менше −5.
5 + 5x
Швидкий спосіб зробити це алгебраїчно - помножити величину з іншого боку нерівності, 5, на від’ємну, а потім перевернути знак нерівності:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Потім вирішуйте як зазвичай.
\ begin {вирівняно} & 5 + 5x
Отже, можливі два варіанти вирішення нерівностіх> 0 абох< −2. Перевірте себе, підключивши кілька можливих рішень, щоб переконатися, що нерівність все ще виконується.
Абсолютна нерівність у вартості без рішення
Є сценарій, коли він міг би бутивідсутні рішення абсолютної величини нерівності. Оскільки абсолютні значення завжди позитивні, вони не можуть бути рівними або меншими за негативні числа.
Отже |х| немає рішенняоскільки результат вираження абсолютної величини має бути позитивним.
Позначення інтервалу
Написати рішення нашого головного прикладу вінтервальне позначення, подумайте, як виглядає рішення на числовій прямій. Наше рішення булох> 0 абох< −2. На числовій прямій це відкрита точка на 0, з лінією, що простягається до позитивної нескінченності, і відкритою крапкою на −2, з лінією, що тягнеться до негативної нескінченності. Ці рішення спрямовані в сторону один від одного, а не один до одного, тому візьміть кожен шматок окремо.
Для x> 0 на числовому рядку є відкрита крапка в нуль, а потім рядок, що тягнеться до нескінченності. В інтервальних нотаціях відкриту крапку ілюструють дужками (), а замкнуту крапку або нерівності з ≥ або ≤ будуть використовувати дужки, []. Отже длях> 0, запишіть (0, ∞).
Друга половина,х
"Або" в інтервальних позначеннях є знаком об'єднання, ∪.
Отже, рішення в інтервальних позначеннях є
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)